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DOC.
13 GENERALIZED THEORY OF RELATIVITY
Das
allgemeine Schwerefeld
7
Wir
gelangen so zu
der
Auffassung,
daß
im
allgemeinen
Falle
das Gravitationsfeld durch zehn Raum-Zeit-Funktionen
g11 g12 g13 g14
g21 g22
g23
g24
g31 g32 g33 g34
g41 g42 g43 g44
(guv=gvu)
[12]
charakterisiert
ist, welche sich
im
Falle der
gewöhnlichen
Relativi-
tätstheorie
auf
-1
0 0 0
0
-1
0 0
0 0
-1
0
0 0 0
+
C2
reduzieren,
wobei
c
eine Konstante bedeutet.
Dieselbe
Art
der
Dege-
neration
zeigt
sich bei
dem
statischen Schwerefelde der
vorhin betrach-
teten
Art,
nur
daß
bei
diesem
g44
=
c2
eine
Funktion
von x1,x2,x3
ist.
[13]
Die Hamiltonsche Funktion
H hat
daher
im
allgemeinen
Fall
den
Wert
(5)
H=-m=
-
myg11x2
+.+.+
2g12xlx2+.+.+2g14x1+.+.+.+944.
Die
zugehörigen Lagrangeschen Gleichungen
(6)
dt,
dh
d
(dH\
_
dK
d
x
0
ergeben
sofort
den
Ausdruck für
den
Impuls
J
des
Punktes und für
die
vom
Schwerefelde
auf ihn
ausgeübte
Kraft
R:
T
^011*1+01*^2
+
013*3
+014
_
_
011^1
X+9ltdXi
+013^3
+9l*dX4
[14](7)
Jz-m
-m
j-s
,
dt
V
d
d
s,
(8)
|
UV
Ferner
ergibt
sich
für
die
Energie
E
des
Punktes
(9)
(i|f+.+.)+B-
«
(Äl
Im Falle der
gewöhnlichen
Relativitätstheorie sind
nur
lineare
or-
thogonale
Substitutionen
zulässig.
Es wird sich
zeigen,
daß
wir für
die
Einwirkung
des
Schwerefeldes auf
die
materiellen
Vorgänge
Gleichun-
gen
aufzustellen
vermögen,
die
beliebigen
Substitutionen
gegenüber
sich
kovariant
verhalten.