DOC. 13
GENERALIZED
THEORY
OF RELATIVITY
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Ableitung
der
Gravitations-Gleichungen
vollkommen
exakten
Differentialgleichungen
der Gravitation
beliebigen
Substitutionen
gegenüber
kovariant
sein könnten.
Der
Versuch einer
Diskussion
derartiger Möglichkeiten
wäre aber bei
dem
gegenwärtigen
Stande
unserer
Kenntnis der
physikalischen Eigenschaften
des Gravi-
tationsfeldes verfrüht. Deshalb ist für
uns
die
Beschränkung
auf
die
zweite
Ordnung geboten
und wir müssen daher darauf
verzichten,
Gravi-
tationsgleichungen
aufzustellen,
die sich
beliebigen
Transformationen
gegenüber
als
kovariant erweisen.
Es
ist
übrigens hervorzuheben,
daß
wir keinerlei
Anhaltspunkte
für
eine
allgemeine
Kovarianz der Gravi-
tationsgleichungen haben.1) [24]
Der
Laplacesche
Skalar
zqp ergibt
sich
aus
dem
Skalar
cp,
indem
man von
diesem die
Erweiterung (den Gradienten),
und dann
von
diesem
den
inneren
Operator (die Divergenz)
bildet.
Beide
Operationen
kann
man
derart
verallgemeinern,
daß sie
an
jedem
Tensor
von
beliebig
hohem
Rang ausgeführt
werden
können,
und
zwar
unter
Zulassung
beliebiger
Substitutionen
der
Grundvariabeln.2)
Aber
es
degenerieren
diese
Operationen,
wenn
sie
an
dem Fundamentaltensor
guv
ausgeführt
werden.3)
Es scheint daraus
hervorzugehen,
daß die
gesuchten
Glei-
chungen
nur
bezüglich
einer
gewissen Gruppe von
Transformationen
kovariant
sein
werden,
welche
Gruppe uns
aber
vorläufig
unbekannt ist.
[25]
Bei dieser
Sachlage
erscheint
es
mit Rücksicht auf
die
alte Rela-
tivitätstheorie
natürlich, anzunehmen,
daß in der
gesuchten
Trans-
formationsgruppe die
linearen
Transformationen enthalten
seien. Wir
fordern
also,
daß
Fuv
ein Tensor
bezüglich beliebiger
linearer Transformationen sein
soll.
Man
beweist
nun
leicht
(durch Ausführung
der
Transformation)
die
folgenden
Sätze:
[26]
1.
Ist
®ap...x
ein kontravarianter Tensor
vom
Range
n
bezüglich
linearer
Transformationen,
so
ist
dø~fl..
•A
ax
ein kontravarianter Tensor
vom Range n
+
1 bezüglich
linearer Trans-
formationen
(Erweiterung).4)
2.
Ist
®aß...x
ein kontravarianter Tensor
vom
Range
n
bezüglich
linearer
Transformationen,
so
ist
dx2
1)
Vgl.
hierzu
noch die
am Anfange
des
§
6 gegebenen
Überlegungen.
2)
II. Teil,
§
2.
3)
Vgl.
die
Anm.
auf
S.
28 im II.
Teil,
§
2.
4)
yuv
ist der
zu
guv
reziproke
kontravariante
Tensor
(II.
Teil,
§ 1).