DOC.
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GENERALIZED THEORY OF RELATIVITY
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Ableitung
der
Gravitations-Gleichungen
müssen,
daß sie
zusammen
linearen Transformationen
gegenüber
Tensor-
charakter besitzen müssen.
Zur
Auffindung
dieser Terme dient
uns
der
Impulsenergiesatz.
Damit
die
benutzte Methode klar
hervortrete,
will ich
sie
zunächst
an
einem
allgemein
bekannten
Beispiel
anwenden.
In der
Elektrostatik ist
gQ/gxvQ
die
vte
Komponente
des
pro
Volumeneinheit auf
die
Materie
übertragenen Impulses,
falls
cp
das
elek-
trostatische
Potential,
ç
die
elektrische Dichte bedeutet.
Es ist
eine
Differentialgleichung
für
cp
gesucht,
derart,
daß der
Impulssatz
stets
erfüllt ist.
Es
ist
wohlbekannt,
daß die
Gleichung
V
di(P
Z
TxJ
=
e
v
die
Aufgabe
löst. Daß der
Impulssatz
erfüllt
ist,
geht
hervor
aus
der
Identität
_d_
(cp
8y\__8_
(i
/ gy \*\
=
dp
y
/
_
dg
_
\
_
VJ
dxu
\dxvdxj
8xv
\2/
U*«/
)
dxr^J
dx3
\
dxr
V
Wenn also der
Impulssatz
erfüllt
ist,
muß für
jedes
v
eine iden-
tische
Gleichung
von
folgendem
Bau existieren: Auf der rechten Seite
steht
-
dcp/dxv
multipliziert
mit der linken Seite der
Differentialgleichung,
auf
der linken Seite der
Identität
steht
eine
Summe
von
Differentialquotienten.
Wäre die
Differentialgleichung
für
cp
noch nicht
bekannt,
so
ließe
sich das Problem
von
deren
Auffindung
auf
dasjenige
der
Auffindung
jener
identischen
Gleichung
zurückführen. Es ist
nun
für
uns
die Erkenntnis
wesentlich,
daß
jene
Identität
sich ableiten
läßt,
wenn
einer der in
ihr auftretenden
Terme bekannt ist.
Man
hat
nichts weiteres
zu
tun,
als die
Regel von
der Differentiation eines Produktes in den Formen
a
du
dv
~v
~~-u
av
a
U
=
-(~UV)
-
V
Ox~
ax, ax,
und
wiederholt anzuwenden und
schlieBlich die
Glieder,
welche Differential-
quotienten sind, auf
die
linke Seite,
die
ubrigen auf
die
rechte Seite
zu
stellen. Geht man
z.
B. von dem
ersten
Glied
der obigen
Identität
aus, so
erhalt man der Reihe nach
iaq~
`~1~9~
ax~bXVf~x~.
2;
+
~- {~2~' ~)
woraus durch Anordnen
die
obige
Identitat
hervorgeht.
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