494 DOC. 17
PROBLEM OF GRAVITATION
1256
Einstein,
Gravitationsproblem. Physik.
Zeitschr.
XIV,
1913.
den ist. Wir haben dann den Fall
vor
uns,
der
aus
der
gewöhnlichen
Relativitätstheorie
geläufig
ist.
Ein freier
Massenpunkt bewegt
sich
gradlinig
und
gleichförmig gemäß
der
Gleichung
6
{/y
-dx2
-
dy2
-
dz2
+
c2dt2) 0.
Führen wir
neue
Koordinaten
x1, x2, x3,
x4
durch eine
beliebige
Substitution
ein,
so
erfolgt
bezüglich
des
neuen
Systems
die
Bewegung
des
Punktes
gemäß
der
Gleichung
8{/ds}=0.
(1b)
ds2
=
Sguv
dxu dxv
[IV
wobei
gesetzt ist.
wobei
Hierfür können wir auch
setzen
(5
JH
dt)
=
0,
H
=
-m
ds
dt
(1b')
gesetzt
ist.
H
ist die Hamiltonsche Funktion.
Im
neuen
System
wird die
Bewegung
des
Massenpunktes
durch die Größen
gmv
bestimmt,
welche nach den
allgemeinen
Betrachtungen
des
vorigen
Paragraphen
als die
Komponenten
eines
Gravitationsfeldes aufzufassen
sind,
sobald wir
das
neue
System
als "ruhend"
betrachten
wollen.
Allgemein
wird
jedes
Schwerefeld durch zehn
Komponenten
guv
definiert
sein,
die Funktionen
von
x1, x2,
x3, x4
sind. Die
Bewegung
des
materiellen Punktes wird
stets
durch
Gleichungen
der
angegebenen
Form bestimmt
sein.
Das
Element
ds
muß seiner
physikalischen
Bedeu-
tung
nach eine Invariante
bezüglich
aller
Sub-
stitutionen
sein.
Hierdurch ist
das
Transfor-
mationsgesetz
für die
Komponenten
gmv
fest-
gelegt,
wenn
die Koordinatentransformation
gegeben
ist.
ds
ist
die
einzige Invariante,
welche
zu
dem vierdimensionalen Linienelement
(dx1, dx2, dx3, dx4) gehört.
Wir
nennen es
den
Betrag
oder die Größe
des
Linienelementes.
Im
Falle des Fehlens eines Gravitationsfeldes
reduziert sich bei
passender
Wahl der Variabeln
das
System
der
gmv
auf das
System
- 1
0 0 0
0
-
I
0
0
0 0
-
I 0
0
0 0
c2
Wir kommen
dann auf den Fall der
gewöhn-
lichen Relativitätstheorie zurück.
Das Gesetz
der
Lichtausbreitung
wird durch
die
Gleichung
ds
=
0
bestimmt
sein.
Hieraus erkennt
man,
daß die
Lichtgeschwindigkeit
im
allgemeinen
nicht
nur
vom
gewählten
Raumzeitpunkt,
sondern auch
von
der
Richtung abhängen
wird.
Daß
wir
davon nichts
merken,
rührt
daher,
daß
in
dem
uns
zugänglichen Raumzeitgebiet
die
gmv
fast
konstant
sind,
und
daß wir das
Bezugssystem
so
wählen
können,
daß die
gmv
bis auf kleine
Abweichungen
die vorhin
angegebenen
konstanten
Werte besitzen.
Genau
wie
bei
Nordströms Theorie können
wir hier
von
der natürlichen
Länge
eines
vier-
dimensionalen
Elementes reden. Es ist dies die
mit einem
transportabeln
Einheitsmaßstab und
einer
transportabeln
Uhr
gemessene Länge
des
Elementes. Diese
natürliche
Länge
ist ihrer
Definition nach ein Skalar und muß daher bis
auf eine
Konstante,
die wir
gleich
1
setzen,
dem
Betrag
ds
des Elementes
gleich sein.
Da-
durch ist die
Beziehung
zwischen Koordinaten-
differentialen
einerseits,
meßbaren
Längen
und
Zeiten andererseits
gegeben;
da in diese
Be-
ziehung
die
Größen
gmv
eingehen,
besitzen die
Koordinaten für
sich allein keine
physikalische
Bedeutung.
Auch die
Festsetzungen
für die
Masse und die
natürliche Dichte bleiben
unge-
ändert verwendbar.
Von den
Gleichungen (1b)
und (1b')
aus-
gehend
können wir
nun
-
genau
wie
bei
unserer
Betrachtung
von
Nordströms
Theorie
-
die
Lagrangeschen
Bewegungsgleichungen
des
materiellen Punktes aufstellen. Diesen entnehmen
wir die Ausdrücke für den
Impuls
I, die
Energie
E
des
Massenpunkts
und für die
vom
Schwerefelde
auf den letzteren
ausgeübte
Kraft R. Ebenso
wie
dort können wir die
entsprechenden
Aus-
drücke für die Volumeneinheit ableiten und
er-
halten
ix
=
-Q0
dxwdx
4
9S
-n
!
QoV-
gi
-
9 S
Q
0
V-i2
dxs dxs
dxr
dx4
dxs dxs
ügur
dxu dx,
9 S
dxx dxs dxs
Hieraus erhalten
wir wie
dort den
Impuls-
energiesatz
für die inkohärente
Massenströmung:
(-ggsmQm,)-
tixp
i2v
e
\g:w
ö,.
(5b)
f *
üxa
Sur
(0=1,2,3,4)
dxp
dxp
ds ds
g
bedeutet hierbei die Determinante der
gmv.
Die drei
ersten
der
Gleichungen (5b)
drücken
den
Impulssatz,
die letzte den
Energiesatz
aus.
Wir können diesem
Gleichungssystem
eine noch
etwas
übersichtlichere
Form
geben,
indem wir
die Größen
[36]
(2c) [37]