496
DOC. 17
PROBLEM
OF
GRAVITATION
1258
Einstein, Gravitationsproblem. Physik.
Zeitschr.
XIV,
1913.
einen materiellen
Vorgang
allein
(d.
h. ohne
sein
Gravitationsfeld)
die
Erhaltungssätze
des
Impulses
und der
Energie
nicht erfüllt sein
können. Diesem
Umstand
entspricht
das Auf-
treten
des Gliedes auf der rechten Seite
von
(5c).
Andererseits
müssen
wir wohl
fordern,
daß für den materiellen
Vorgang
und das Gravi-
tationsfeld
zusammen
die
Erhaltungssätze
er-
füllt sind. Es kommt dies darauf
hinaus,
daß
wir
die Existenz
von
Ausdrücken tv für
Span-
nungen, Impuls-, Energiestrom-
und
Energie-
dichte
des
Gravitationsfeldes
fordern,
die mit
den
entsprechenden
Größen
%av
des materiellen
Vorganges
zusammen
die
Beziehung
vic (£,"-1-=
^
'
lx"
o
erfüllen. Falls
tav
invariantentheoretisch den-
selben Charakter haben
soll
wie Iav,
so
kann
die linke Seite dieser
Gleichung
nicht
beliebigen
Transformationen
gegenüber
kovariant
sein; sie
ist dies wahrscheinlich
nur
beliebigen
linearen
[44]
Transformationen
gegenüber.
Indem
wir also die
Gültigkeit
der
Erhaltungs-
sätze
fordern, spezialisieren
wir das
Bezugssystem
in
weitgehendem
Maße und verzichten damit
auf die
Aufstellung
der
Gravitationsgleichungen
in
allgemein
kovarianter Form.
Hier steckt also die Grenze der Anwendbar-
keit der im
§
4
gegebenen
Überlegungen.
Geht
man aus
von
einem
Bezugssystem,
in
bezug
auf
welches
die
Erhaltungssätze
in
der
angegebenen
Form
gelten,
und führt
man
durch eine
Be-
schleunigungstransformation
ein
neues
Bezugs-
system ein,
so
sind in bezug
auf
letzteres die
Erhaltungssätze
nicht mehr
erfüllt. Trotzdem
glaube ich,
daß die
auf Grund der
im
§
1
ge-
gebenen Überlegungen abgeleiteten Gleichungen
deswegen
nicht
ihre Basis verlieren. Denn einer-
seits ist
es
gewiß möglich,
die
Vorgänge
in
be-
zug
auf
beliebige Bezugssysteme
zu
beschreiben;
andererseits
ist nicht einzusehen,
wie jene Glei-
chungen
durch die hier
eingeführte
Speziali-
sierung
des
Bezugssystems
sich
spezialisieren
sollten.
§
7.
Gleichungssystem
für das
Gravi-
tationsfeld.
[45]
Das
gesuchte Gleichungssystem
soll
eine
Ver-
allgemeinerung
der
Poissonschen
Gleichung
Ap
=
4^0
sein.
Da
an
Stelle des
p
in
unserer
Theorie
die
10
Größen
gmv
das Gravitationsfeld
be-
stimmen,
so
werden wir
an
Stelle der einen
Gleichung 10 Gleichungen
erhalten. Ebenso
wird
statt
Q
der
zehngliedrige
symmetrische
Tensor
Qmv
auf der rechten
Seite der
Gleichungen
als
felderregend
auftreten,
so
daß die
gesuchten
Gleichungen
von
der Form
l
U
y
X Ö^
y
sein werden.
Imv
wird ein
aus
den
Größen
gmv
gebildeter
Differentialausdruck
sein, von
dem
wir
wissen,
daß
er
bezüglich
linearer
Transformationen
kovariant sein muß. Ich nahm
ferner
an,
daß
Tmv
keine höheren als
zweite
Differentialquotienten ent-
halte. Ferner erfordert der
Erhaltungssatz folgen-
des: Wenn
man
im zweiten
Glied
von
(5b) Qur
durch
1/x
ruv
ersetzt,
so
muß sich dies Glied
so
x
umformen
lassen,
daß
es
sich
-
wie
das
erste
Glied
von
(5b)
-
als
eine Summe
von
Differential-
quotienten
schreiben läßt. Diese
Bedingungen
lieferten mir
einen,
so
weit ich
sehe,
eindeutigen
Weg
zur
Ermittlung
von
Tmv
und damit der
gesuchten Gleichungen.
Diese lauten:
wobei
4»
*
(r)
4«
•
(/)
==
*
(&•"
+
•)»
(7a)
Syi
ö
g
0Xa
I
'(«:
^
~
g
bx?
^7«jg':
und
ZXOL;,.
aßxQ
s
r«L
*7-,
üxa
d*.
\
OXa
C
Xj
_!y
y3
2
r *
d xa
bxß)
gesetzt ist.
Die
Impulsenergiegleichung
für den
materiellen
Vorgang
und das Gravitationsfeld
zusammen
nimmt
die Form
an
Zsxv(V-ggmv
(Qmv +
Qmv))
=
0.
(9a)
Aus
(9a)
sieht
man,
daß
suv
für das Schwere-
feld die
gleiche
Rolle
spielt
wie
Omv
für den
materiellen
Vorgang. Bezüglich
linearer Trans-
formationen ist
Smv
ein kontravarianter
Tensor,
wir wollen ihn kontravarianten
Spannungsenergie-
tensor
des Gravitationsfeldes
nennen.
Im Ein-
klang
mit dem Postulat
(2)
tritt
Smv
wie
Qmv
als
felderregende
Ursache auf.
Etwas einfacher werden die
Gleichungen,
wenn man
die
Spannungskomponenten
J
a
r
==
V
&
S"
P 9
und
t,
r
=
V
-
g g"u
frf,
v
selbst in die
Gleichungen
einführt.
Diese
er-
halten dann die Form:
g
Ö
r
g
7«fg«i'
CXß
x{X.. +1,
1
r)
j
(7b)
[46]
[47]
[48]
[49]