DOC. 25 FOUNDATIONS OF GENERAL
THEORY
573
Physik.
Zeitschr.
XV,
1914.
Einstein,
Relativitätstheorie und Gravitationstheorie.
177
[5]
[6]
jedenfalls
ist
es
interessant,
sich die
Frage
vor-
zulegen:
Inwieweit ist
es
möglich,
eine Relati-
vitätstheorie
aufzubauen,
die das
Prinzip
der
Konstanz der
Lichtgeschwindigkeit
nicht
zur
Grundlage
hat?
2.
Die
bisherige
Relativitätstheorie fließt
formal
aus
der
Voraussetzung,
daß für
jede
berechtigte
Substitution der Raum-Zeit-Variabeln
ds2
=
2dx2
(1)
eine Invariante
sei,
welche
Voraussetzung
aus
dem
Prinzip
von
der Konstanz der
Lichtgeschwin-
digkeit
stammt.
Als
berechtigte
Substitutionen
treten
demnach
nur
die linearen
orthogonalen
Substitutionen auf. Die
Gleichung
des frei
bewegten Massenpunktes
in
Hamiltonscher
Form ist:
ö
{/ds \
o. (2)
In
dem Falle
nun,
daß wir das Postulat der
Konstanz der
Lichtgeschwindigkeit
fallen
lassen,
gibt
es a
priori
keine
bevorzugten
Koordinaten-
systeme.
Es können deshalb die Koordinaten
xv
durch
vorläufig ganz beliebige
Funktionen dieser
Größen
ersetzt
werden. Gibt
es
dann auch
vierdimensionale
Gebiete,
in denen sich der
materielle Punkt bei
passender
Wahl der Koordi-
naten
xv
gemäß
(2)
und
(1)
bewegt,
so
ist dies
doch nicht mehr als das allgemeine
Bewegungs-
gesetz
des kräftefrei
bewegten
Punktes
anzu-
sehen. Es
ergibt
sich
statt
dessen
Gleichung
(2)
in
Verbindung
mit
ds2
=
2
g"vdxudxv,
uv
(1a)
wobei die Größen
guv
Funktionen
der
xv
sind.
3.
Dies
Bewegungsgesetz [(2), (1a)]
ist
zu-
nächst
nur
für den Fall
abgeleitet,
daß sich der
Punkt
ganz
kräftefrei
bewegt,
daß also auf den
Punkt auch kein Gravitationsfeld einwirkt
(von
einem
geeigneten
Bezugssystem
aus
beurteilt).
Da aber
erfahrungsgemäß
das
Bewegungsgesetz
eines
materiellen Punktes
im
Schwerefelde nicht
vom
Material des
Körpers abhängt,
und da
es
jedenfalls möglich
sein
dürfte, jenes
Gesetz auf
die Hamiltonsche Form
zu
bringen,
so
liegt
es
nahe,
[(2),
(1a)] allgemein
als
das
Bewegungs-
gesetz
eines Punktes
anzusehen,
auf welchen
keine anderen als Gravitationskräfte wirken. Dies
ist der Kern der
"Äquivalenzhypothese".
4.
Nach dem
Gesagten
haben wir die Funk-
tionen
guv
als die
Komponenten
des Gravitations-
feldes in
bezug
auf das
ganz beliebig gewählte
Bezugssystem
aufzufassen. Da die
Hamilton-
sche
Bewegungsgleichung
die
Bewegung
des
Punktes
ganz unabhängig von
der Wahl des
Be-
zugssystems
bestimmen
muß,
so
ist 2guvdxu
dxr
uv
als eine Invariante
bezüglich
aller Substitutionen
aufzufassen. Die
positiv genommene
Wurzel
dieser Größe
bezeichnen
wir
als das (vierdimen-
sionale)
Linienelement der zeit-räumlichen
Mannig-
faltigkeit.
5.
Auf
die Invariante
(1)
hat Minkowski
eine
vierdimensionale Kovariantentheorie
gegrün-
det,
welche
die Gleichungen
der
ursprünglichen
Relativitätstheorie liefert. In
analoger
Weise
[7]
läßt sich auf die Invariante
(1a)
vermittelst des
"absoluten
Differentialkalküls" eine Kovarianten-
theorie
gründen,
welche die
entsprechenden
Gleichungen
der
neuen
Relativitätstheorie liefern.
In diesen
Gleichungen
treten
die Größen
guv
auf,
so
daß
erstere
ohne weiteres den Einfluß
zu
finden
gestatten,
den das Gravitationsfeld
auf
irgendwelche
physikalischen Vorgänge
aus-
übt.
Die
Gleichungen
der
neuen
Relativitäts-
theorie
gehen in
diejenigen
der
ursprünglichen
über in dem
Spezialfalle,
daß
man
die
guv
als
konstant betrachten kann
(bei
passender
Wahl
der
xv); es
ist dies
der
Spezialfall,
bei welchem
das Gravitationsfeld
zu
vernachlässigen
ist.
Es
ist für die Theorie
wesentlich,
daß
(1a)
belie-
bigen
Transformationen
gegenüber
invariant
ist.
Hierauf ist
es
zurückzuführen,
daß die Durch
führung
der Theorie
trotz
des Auftretens der
guv
ohne Willkür
vor
sich
gehen
kann.
6. Die
neue
Relativitätstheorie hat
aber noch
ein Problem
zu
lösen,
dem kein
entsprechendes
der
ursprünglichen
Relativitätstheorie
zur
Seite
steht.
Sie
hat nämlich auch
Gleichungen
zu
liefern,
denen das Gravitationsfeld selbst
genügt,
d. h.
Gleichungen,
aus
denen die Größen
guv
zu
berechnen
sind,
wenn
die auf die materiellen
Vorgänge
sich beziehenden Größen bekannt
sind. Das
energetische
Verhalten eines
Systems
wird durch einen
Energietensor
Eav/V-g (ge-
mischter
Tensor)
charakterisiert.
Da
Energie
und
Trägheit
einerseits,
Trägheit
und Schwere
andererseits,
einander
bedingen,
so
ist
zu
for-
dern,
daß das Gravitationsfeld durch die Größen
%av
bestimmt
wird.
Es sind also Differential-
gleichungen
zu
suchen, welche
als Verallgemei-
nerung
von
Poissons
Gleichung
aufzufassen
sind,
welche also die
guv
aus
den
Euv
zu
berechnen
erlauben;
dabei
müssen
diese
Gleichungen
all-
gemein
kovariant
sein.
7.
Diesen
Zusammenhang
zwischen den
guv
und
%uv
haben
wir
nicht
in allgemein
kovarianter
Form aufstellen
können;
und dieser Umstand
ist
es,
aus
dem
die Fachkollegen
unserer
Theorie
den
verhängnisvollen
Strick drehen
zu
sollen
glauben.
Ich
will im folgenden
darlegen,
warum
[10]
sie
hierin nach meiner Ansicht nicht recht
haben.
-
Wenn
Gleichungen
zwischen
irgendwelchen