DOC.
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MANUSCRIPT ON SPECIAL RELATIVITY
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Die Vektoren vierten
Ranges
lassen sich
infolgedessen
durch einen
bestimmten
(eo1...o4)
ersetzen,
der
folgendermassen
definiert
ist: Es
ist
eo1...o4
±1'
je
nachdem die Permutation
o1, o2, o3, o4
aus
der Permutation
1,
2,
3,
4
durch
eine
gerade
oder
ungerade
Zahl
von
Vertauschungen
zweier Indizes hervor-
geht.
Falls
(eo1...o4)
ein Tensor
ist,
ist
es
nach dieser Definition ein
Vektor;
dass
es
ein
Tensor
ist,
kann
unter Benutzung
bekannter Determinantensätze
leicht bewiesen
werden.[97]
§17.
Addition und
Multiplikation
der Tensoren.
Addition und Subtraktion
von
Tensoren.
Aus
(34)
geht hervor,
dass
man
wieder die
Komponenten
eines Tensors
er-
hält,
wenn
man
die
entsprechenden Komponenten
zweier Tensoren desselben
Ranges
addiert oder subtrahiert. Man
spricht
in
diesem Sinne
von
der Addi-
tion
bezw.
Subtraktion
von
Tensoren.
Es
lässt sich also schreiben
(TC«)±(U
) =
(T
±U
)
...(35)
In
In
In
In
Symmetrische
Tensoren
liefern dabe als Summe
bezw. Differenz wieder
sym-
metrische
Tensoren,
Vektoren liefern wieder
Vektoren.
Bemerkung.
Wir sind
imstande,
zu
jedem
Tensor zweiten
Ranges
einen
sym-
metrischen Tensor und einen
Vektor
zweiten
Ranges
zu
bilden. Ist
(Tax)
der
gegebene Tensor,
so
ist nach
(33)
(TXÖ)
ebenfalls
ein
Tensor und daher
(Töx
+
TX(5)
ein
symmetrischer
Tensor zweiten
Ranges
(TÖX
-
TxG)
ein
Vektor
zweiten
Ranges
Aeussere
Multiplikation
von
Tensoren
Aus zwei Tensoren mit
den
Komponenten
T0...om
bezw.
Ut1...tn
lässt
sich ein
neuer
Tensor
(m +
n)-ten
Ranges
bilden
mit
den
Komponenten
T
UT.
..
.X
1
m
1
n
Den
Tensor
(To1...om
Ut1...tn) nennen
wir das
äussere
Produkt der beiden
gege-
benen Tensoren. Denn
es
ist nach
(34)
T
sv..sm
=
X
\ol\o2"asmomTol...om
1
m
't
t
=
X
at
X
att -at
T
UX
X
'
n
"
X-J_
riXl
2
2
lnXn
1"
n
u
X.
...X
1
n
woraus
durch
Multiplikation folgt