DOC.
9
FORMAL
FOUNDATION OF
RELATIVITY
79
1036
Gesammtsitzung
v.
19.
Nov. 1914.
-
Mitth. d.
phys.-math.
Cl.
v.
29. Oct.
Es ist
klar,
daß
in
analoger
Weise auch kovariante Tensoren
dritten und
höheren
Ranges
definiert werden können.
Symmetrischer
kovarianter
Tensor.
Erfüllt ein kovarianter
Tensor
fur
ein
Koordinatensystem
die
Bedingung,
daß
die
Werte
zweier seiner
Komponenten,
welche einer bloßen
Vertauschung
von
Indizes einander
entsprechen,
einander
gleich
sind
(Aa,3
=
ABa),
so
gilt
dies,
wie ein Blick
auf
Gleichung (5a) zeigt,
auch fur
jedes
andere
Koordinatensystem.
Dann reduzieren sich beim kovarianten
Tensor
zweiten
Ranges
die 16
Transformationsgleichungen
auf
10.
In dem
Falle,
daß
AMv
=
AvM
ist,
genügt zum
Beweise des Tensorcharakters
von
(AMv)
der
Nachweis,
daß
^Ä,.dx,dx,
=
*
(5c)
ein Skalar sei.
Es
folgt
dies
aus
der
Identität
^A^dx^dx', =
^A^dx.dxß
=
"5^^^
mit Rücksicht
auf
(5a).
Symmetrische
kovariante Tensoren höheren
Ranges
lassen sich
ganz
analog
definieren.
Kovarianter Fundamentaltensor.
In der
zu
entwickelnden
Theorie
spielt
die Größe
Ä*
= ^g"dxmdx,,
welche wir als
Quadrat
des
Linienelementes bezeichnen
wollen,
eine
besondere Rolle. Aus dem
Vorigen
geht
hervor,
daß
guv
ein
kovarianter
(symmetrischer)
Tensor zweiten
Ranges
ist.
Wir
wollen
ihn
als »ko-
varianten Fundamentaltensor«
bezeichnen.
Bemerkung.
Wir hatten den
kovarianten Tensor auch defi-
nieren können als einen
Inbegriff
von
16
Größen
Auv,
die sich ebenso
transformieren
wie die
16
Produkte
AuBv
zweier kovarianter
Vektoren
(AM)
und
(Bv).
Setzt
man
Auv
= AuBv,
(6)
so folgt
aus
(3a)
sofort
A'm
=
KB, =X-^
woraus
mit
Rücksicht
auf
(5a) folgt,
daB
Auv
ein kovarianter Tensor
ist. Ganz
Entsprechendes gilt
fur
Tensoren höheren
Ranges.
Aller-
dings
ist
nicht
jeder
kovariante Tensor
in
dieser Form
darstellbar,
da
(Auv)
16
Komponenten
besitzt,
Au
und
Bv
zusammen
nur
8
Kompo–
Previous Page Next Page