DOC.
9
FORMAL
FOUNDATION OF RELATIVITY
87
1044
Gesammtsitzung v.
19.
Nov.
1914.
-
Mitth.
d.
phys.-math.
Cl.
v.
29. Oct.
Duale
Sechservektoren.
Ist ferner
(Fuv)
ein
antisymmetrischer
Tensor
(zweiten
Ranges), so
können wir
zu
ihm einen zweiten
anti-
symmetrischen
Tensor
Fuv*
bilden nach der
Gleichung
JV"'
=(24)
2
•&
Man
nennt
Fuv*
den
zu
Fuv
»dualen«
kontravarianten Sechservektor. Um-
gekehrt
ist
Fuv
zu
Fuv*
dual. Denn
multipliziert
man
(24)
mit
GTTmv,
und
summiert über
u
und
v,
so
erhält
man
-
X GZ**
=
~
XGZ
i;
2
4
m&+,
da aber nach
(22)
*£gzgz
=
X
=
2
,
rnm ßwkmk'n*
'
9
ist1,
so ergibt
sich
-XGZG^Fmi=-(F"-Tr)
=
F",
4
X
2
woraus
die
Behauptung folgt.
Ganz
Entsprechendes gilt
fur
kovariante
Sechservektoren. Man
beweist ferner
leicht,
daß
Sechservektoren,
welche zwei dualen
reziprok
sind,
selbst dual sind.
[13]
§
7.
Geodätische
Linie
bzw.
Gleichungen
der
Punktbewegung
In
§
2
ist bereits
dargelegt,
daß die
Bewegung
eines
materiellen
Punktes im Gravitationsfelde nach der
Gliederung
b
(1)
vor
sich
geht.
Der
Bewegung
eines Punktes
entspricht
also
vom
mathe-
matischen
Standpunkte
eine
geodätische
Linse
in
unserer
vierdimen-
sionalen Mannigfaltigkeit.
Wir
wollen der
Vollständigkeit
halber
die
[14]
1
Die zweite dieser
Umformungen
beruht
darauf,
daß
Euv\x nur dann
nicht ver-
schwindet,
wenn
alle Indizes verschieden sind. Es bleiben
deshalb
nur die
beiden
Möglichkeiten (X=m',
x=x')
und
(X=x',
x=A');
mit Rücksicht
darauf ergibt sich
zunächst durch
Summation über
u
und
v
der Ausdruck
[12]
»'"f*
? *}»
x»
wobei die Summe zunachst
nur
uber solche Indexkombinationen (Jx) zu erstrecken ist,
für welche
A=x.
Da aber die Klammer für
A
=
u
ohnehin verschwindet, so kann die
Summe uber
alle
Kombinationen erstreckt werden.
Mit
Rucksicht auf (10) ergibt
sich hieraus
der
im
Text angegebene Ausdruck.