DOC.
9
FORMAL FOUNDATION
OF
RELATIVITY
89
1046
Gesammtsitzung v.
19. Nov.
1914.
-
Mitth. d.
phys.-math.
Cl.
v.
29. Oct.
wird
auch in
der
verallgemeinerten
Relativitätstheorie
der
Fall sein.
Schließen
wir den letzteren
Fall
(ds =
0)
von
der
Betrachtung
aus,
so
können
wir als
Parameter
X
die
auf der
geodätischen
Linie
ge-
messene »Bogenlänge« s
wählen.
Dann
geht
die
Gleichung
der
geo-
dätischen
Linie
über
in
»
ß*
Mm
-I
(23a)
wobei nach
Christoffel die
Abkürzung [16]
9ft.
.
9ft.
9,
(24)
eingeführt
ist,
welcher Ausdruck
bezüglich
der
Indizes
u
und
v
symme-
trisch
ist. Endlich
multipliziert man
(23a)
mit
gyv
und
summiert über
o.
Mit
Rücksicht
auf
(10)
und
bei
Benutzung
des bekannten
Christoffel-
schen
Symbols
{uvT}=Egr[uvo]
(24a)
erhalt
man
dann
an
Stelle
von
(23a)
a
d
•»
(23b)£-?{?}§£-•
Dies ist die
Gleichung
der
geodätischen
Linie in
ihrer
übersicht-
lichsten Form. Sie
drückt
die zweiten
Ableitungen
der
xv
nach
s
durch
die ersten
Ableitungen
aus.
Durch Differenzieren
von
(23b)
nach
s
erhielte
man Gleichungen,
die auch eine
Zurückfuhrung
der
höheren
Differenzialquotionenten
bei Koordinaten
nach
s
auf die
ersten
Ablei-
tungen
gestatten;
man
erhielte
so
die Koordinaten in
Taylorscher Ent-
wicklung
nach den Variabeln
s.
Gleichung (23b)
entspricht
der
Be-
wegungsgleichung
des materiellen Punktes in Minkowskischer
Form,
indem
s
die
»Eigenzeit«
bedeutet.
[17]
§
8.
Bildung
von
Tensoren durch
Differentiation.
Die fundamentale
Bedeutung
des
Tensorbegriffes
beruht
bekannt-
lich
darauf,
daß die
Transformationsgleichungen
für
die
Tensorkompo-
nenten linear
und
homogen
sind. Dies
bringt
es
mit
sich,
daß die
Komponenten
eines Tensors
bezüglich
eines
jeden
beliebigen
Koordi-
natensystems
verschwinden,
falls
sie
bezüglich
eines
Koordinatensy-
stems verschwinden.
Hat
man
also eine
Gruppe
von
physikalischen
Gleichungen
in
eine Form
gebracht,
welche das
Verschwinden
aller
Komponenten
eines
Tensors
aussagt, so
hat
dieses
Gleichungssytem