216 DOC. 21 GENERAL RELATIVITY
Einstein:
Zur
allgeineinen
Relativitatstheorie
779
mationen
kovariant sein
sollen,
so
ruht
die hier
darzulegende
Theorie
auf
dem Postulat der
Kovarianz
aller
Gleichungssysteme bezüg-
lich Transformationen
von
der Substitutionsdeterminante
1.
Dem
Zauber dieser Theorie
wird
sich kaum
jemand
entziehen
können,
der
sie wirklich
erfaßt
hat; sie bedeutet einen wahren Tri-
umph
der
durch
Gauss,
Riemann,
Christoffel, Ricci
und
Levi-Civiter
begründeten
Methode des
allgemeinen
Differentialkalkuls.
§
1.
Bildungsgesetze
der Kovarianten.
Da
ich in meiner Arbeit
vom
letzten
Jahre
eine
ausführliche
Dar-
legung
der Methoden des absoluten Differentialkalküls
gegeben
habe,
kann ich
mich hier bei
der
Darlegung
der
hier
zu
benutzenden Bil-
dungsgesetze
der Kovarianten kurz
fassen;
wir
brauchen
nur zu
unter-
suchen,
was
sich
an
der Kovariantentheorie dadurch
verändert,
daß
nur
Substitutionen
von
der Determinante
1
zugelassen
werden.
Die
für
beliebige
Substitutionen
gültige Gleichung
d,'
=
geht zufolge
der Prämisse
unsrer
Theorie
=
, (1)
3(*.
•••*,)
uber in
dr'
ss
dr:
(2)
das vierdimensionale Volumelement dr ist also eine Invariante. Da
ferner
(Gleichung (17) a. a. O.)
V-gdr
eine Invariante
bezüglich
be-
liebiger
Substitutionen
ist,
so
ist
für
die
uns
interessierende
Gruppe
auch
V-g'
=
(3)
Die
Determinante
aus
den
guv
ist also eine Invariante.
Vermöge
des
Skalarcharakters
von
V-g
lassen die Grundformeln
der
Kovarianten-
bildung gegenüber
den bei
allgemeiner
Kovarianz
gültigen
eine Ver-
einfachung zu,
die kurz
gesagt
darin beruht, daß in den
Grundfor-
meln die Faktoren
V7-g
und
1/V-g
nicht
mehr
auftreten,
und
der
Unterschied zwischen Tensoren und V-Tensoren
wegfällt.
Im einzelnen
ergibt
sich
folgendes:
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