222
DOC.
21
GENERAL
RELATIVITY
Einstein: Zur
allgemeinen
Relativitätstheorie
785
den
»Energietensor«
des Gravitationsfeldes
bezeichnet,
der
übrigens
nur
linearen
Transformationen
gegenüber
Tensorcharakter hat. Aus
(20a)
und
(19a)
erhält
man
nach einfacher
Umformung
n
=
2
(20b)
Endlich
ist
es
noch
von
Interesse,
zwei skalare
Gleichungen
abzuleiten,
die
aus
den
Feldgleichungen hervorgehen. Multiplizieren
wir
(16a)
mit
guv und
summieren
wir über
u
und
v,
so
erhalten wir nach ein-
facher
Umformung
wr
wer
qeq qeq qe
et
q
qr
(21)
Multiplizieren
wir anderseits
(16a)
mit
gvA
und summieren über
v,
so
erhalten wir
^
Gr
r«)
-
5
9*
r:
r;.
=
-
*
n.
*v
* «|9v
oder mit Rücksicht
auf
(20b)
V
JL
(,"
r«)
_
^
if
v:ß
r«
=
- *
(ij+c)
•
a»
~ «»«*3
Hieraus
folgt
weiter mit Rücksicht
auf
(20)
nach
einfacher Umfor-
mung
die
Gleichung
wef
ew
etgw
wetqw
etwr
(22)
Wir
aber fordern
etwas
weitergehend:
5-575^-2f-r''r*
=
°'
(22a)
so
daß
(21)
übergeht
in
•
« -
\
(21a)
Aus
Gleichung
(21a) geht
hervor, daß
es
unmöglich
ist,
das Koordinaten-
system
so zu
wählen,
daß
V-y
gleich
1
wird; denn
der
Skalar des
Energietensors
kann nicht
zu
null
gemacht
werden.
Die Gleichung
(22a)
ist eine
Beziehung,
der die
gur
allein
unter-
worfen sind
und
die in einem
neuen Koordinatensystem
nicht
mehr
gelten
würde,
das durch eine
unerlaubte
Transformation
aus
dem
ursprünglich
benutzten
Koordinatensystem hervorginge.
Diese
Gleichung
sagt
also
aus,
wie das
Koordinatensystem
der
Mannigfaltigkeit
angepaßt
werden muß.
Sitzungsberichte
1915. 78
[5]