10
DOC.
2
COVARIANCE PROPERTIES
218
Kovarianzeigenschaften
der
Feldgleichungen
usw.
Wir
können nämlich
beweisen, daß, wenn
bei
gegebenen
©mv
eine
Lösung
für
die
yflv
bereits
bekannt
ist, aus
der
allgemeinen
Kovarianz
der
Gleichungen
auf
die
Existenz weiterer
Lösungen geschlossen
wer-
den kann.
[9]
Es
gebe
in
unserer
vierdimensionalen
Mannigfaltigkeit
einen Teil
L,
in welchem ein
"materieller Vorgang"
nicht
vorhanden
sein
soll,
in
welchem also
die
@^lv
verschwinden. Durch die
außerhalb
L
gegebenen
©/tv
seien die
y/Llv
überall,
also auch im Innern
von
L
bestimmt
(An-
nahme
a).
Wir
denken
uns nun
statt der
ursprünglichen
Koordinaten
xv
neue
Koordinaten
xv
eingeführt von folgender
Art. Außerhalb
L
sei
über-
all
xv
=
xv,
innerhalb
L
aber
sei
wenigstens
für einen Teil
von
L
und
wenigstens
für einen Index
x'v
=
xv.
Es
ist
klar,
daß durch eine der-
artige
Substitution erreicht
werden
kann,
daß
wenigstens
für
einen
[10]
Teil
von
L
yLv
=
y^
ist. Andererseits
ist
überall
©^v
= ®tlv,
nämlich
[11]
außerhalb
L,
weil für dieses Gebiet
xv
=
x ist,
innerhalb L
aber,
weil
für
dieses
Gebiete
&/xv
=
0
=
©mv
ist.
Wenn
also
alle
Substitutionen
zugelassen
werden,
so
würden
zu
dem
nämlichen
System
der
©Mlv
mehr
als ein
System
der
yfiv
gehören, was
im
Widerspruch
mit der An-
nahme
a) steht.1)
Nachdem wir
so eingesehen
haben,
daß
eine brauchbare
Gravita-
tionstheorie
notwendig
einer
Spezialisierung
des
Koordinatensystems
bedarf,
erkennen wir auch
leicht, daß
bei den
von uns angegebenen
Gravitationsgleichungen
ein
spezielles Koordinatensystem
zugrunde liegt.
Aus
den
Gleichungen (II) folgen
nämlich durch
Differentiation nach
xv
und Summation über
v
unter
Berücksicktigung
der
Gleichungen
(III)
die
Beziehungen
(IV)
-ggBYmvXv =
0,
ccfifi V
also vier
Differentialbedingungen
für
die
Größen
gflv,
welche
wir
abge-
kürzt
Ba
=
0
schreiben
wollen.
1)
Diese
Betrachtung
ist bereits in
den
Bemerkungen
im
Anhang
des
Wieder-
[12]
abdruckes
des "Entwurfes" im 62. Band der
Zeitschr.
f.
Math.
u.
Phys.
enthalten.
Die sich
dort anschließende
Behauptung
über die
Einschränkung
des Koordinaten-
systems
ist aber nicht
zutreffend;
es
folgt
nämlich
aus (III) nur
dann,
daß
nur
lineare Substitutionen
zulässig sind,
wenn man
den
Größen
---
Tensorcharakter
y-g
[13] beilegt,
was
sich als unberechtigt erwiesen
hat.