DOC.
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COVARIANCE PROPERTIES
11
Von
Albert Einstein und Marcel
Grossmann. 219
Diese Größen
Ba bilden,
wie
in
§
5
gezeigt ist,
keinen
allgemein-
kovarianten Vektor. Hieraus kann
geschlossen werden,
daß die Glei-
chungen Ba
=
0 eine wirkliche
Bedingung
für
die
Wahl
des
Koordi-
natensystems
darstellen.1)
§
3.
Hamiltonsche Form der
Gravitationsgleichungen.
Im
nachfolgenden
Beweis
der Kovarianz der
Gravitationsgleichungen
wird davon Gebrauch
gemacht,
daß
man
diese
Gleichungen
in
die
Form
eines
Variationsprinzipes bringen
kann.2)
Man kann
zeigen,
daß die
Gravitationsgleichungen (II) gleichbe-
deutend sind mit der
Aussage
(V)
f{SH-2^y-gTftr8yflv)dx^Q,
[15]
/LiV
wo
(Va)
H
=
1/2-gEYBgYzdx
aßtq
'
ist,
und die
ymv
unabhängig
voneinander derart variiert
werden,
daß die
Variationen
an
der
Begrenzung
des
vierdimensionalen
Gebietes,
auf
welches sich
die Integration
erstreckt,
verschwinden.
Berücksichtigt man
bei der
Berechnung
von
öH
die
leicht ersicht-
lichen Formeln
d(V-g)
=
-1/2E-ggmvYmv,
(X
V
S
( dxf)
= ''
-EmvXa(gvvmgvYmv),
Kwf)
=
ir/Sr^'
so
findet
man
mit Rücksicht
darauf, daß die
Variationen
von
Ober-
flächenintegralen
verschwinden
ftHi,
_/2(-
£.(v=ir.rt%)
+
V=ir.tr.^
(avcc
(itq
I
1
1
/
^
9t 9
t
Q
1
^
9t
Q
^
9t
o\}s
-j
+
*y-9-i^-d^-^^°ß^j4ry^-dx-
[16]
1)
Man
kann die
Gleichungen Ba
=
0
auch
erhalten,
wenn
man an
den Gra-
vitationsgleichungen
die Operation
der
Divergenz
im
Sinne
des
absoluten
Differen-
tialkalküls
ausführt,
und
den
Erhaltungssatz
für
die
Materie mitbenützt.
2)
Die
Anregung
dazu, uns
den
zu
führenden
Beweis durch eine
derartige
Umformung
zu
erleichtern,
verdanken wir Herrn Paul Bernays in
Zürich.
[14]