DOC. 42 SPECIAL AND GENERAL RELATIVITY
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felder,
d. h.
durch
die
Verteilung
der
Materie
beeinflußt
wird.
Hieraus
folgt
schon,
daß
von
einer
exakten
Gültigkeit
der
euklidischen
Geometrie in
unserer
Welt
keine Rede sein
kann.
Aber
es
ist
an
sich
denkbar,
daß
unsere
Welt
von
einer
euklidischen
wenig
abweicht,
diese
Auffassung
liegt um
so
näher,
als die
Rechnung ergibt,
daß
selbst
Massen
von
der
Größe
unserer
Sonne die
Metrik
des
umgebenden
Raumes
nur
ganz
minimal
beeinflussen. Man
könnte
sich vorstellen,
daß
sich
unsere
Welt
in
geometrischer
Hinsicht
analog
verhält
einer
im einzelnen
unregelmäßig gekrümmten Fläche,
die
aber
nirgends
bedeutend
von
einer Ebene
abweicht, wie
etwa
die
durch
schwache Wellen
gekräuselte
Oberfläche eines Sees.
Eine
derartige
Welt könnten
wir
passend
eine
quasi-euklidische
nennen.
Sie
wäre
räumlich
unendlich. Die
Rechnung ergibt
aber,
daß
in einer
quasi-euklidischen
Welt
die
mittlere Dichte
der
Materie
null sein
müßte. Eine
solche
Welt könnte
also
nicht
überall mit Materie bevölkert
sein;
sie
böte
das
un-
befriedigende Bild,
das wir im
§
30 entworfen
haben.
Soll
es
aber
in
der Welt
eine
wenn
auch noch
so
wenig
von
null
abweichende mittlere Dichte der
Materie haben,
so
[80]
ist
die
Welt nicht
quasi-euklidisch.
Die
Rechnung ergibt
viel-
mehr,
daß
sie bei
gleichmäßig
verteilter
Materie
notwendig
sphärisch
(bzw.
elliptisch)
sein
müßte.
Da die
Materie in
Wahrheit
im einzelnen
ungleichmäßig
verteilt ist,
wird die
wirkliche Welt
vom sphärischen
Verhalten im
einzelnen ab-
weichen,
sie wird
quasi-sphärisch
sein.
Aber
sie
wird
not-
wendig
endlich sein müssen. Die
Theorie
liefert
sogar
einen
einfachen
Zusammenhang1)
zwischen
der räumlichen
Ausdeh-
nung
der Welt und
der
mittleren Dichte der
Materie in der-
selben.
1)
Für den
"Radius"
R
der Welt
ergibt
sich
nämlich die
Gleichung
_
2
XQ
2
Bei
Verwendung
des C.-G.-S.-Systems ist hierbei
- =
1,08.1027;
q
ist
die mittlere Dichte der Materie.