DOC. 42 SPECIAL AND GENERAL RELATIVITY
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nisse werden als
Gravitationsfeld
gedeutet,
ohne daß die
Frage
nach
der
Existenz
von
Massen
aufgeworfen
wird, welche dies
Feld
er-
zeugen.
Dieser
Gedankengang
läßt
es
auch
begreifen,
warum
die
Gesetze des
reinen Gravitationsfeldes
unmittelbarer
mit
der Idee
der
allgemeinen
Relativatät
verknüpft
sind
als die
Gesetze
für
die
Felder
allgemeiner
Art
(wenn
z.
B.
ein
elektromagnetisches
Feld
vorhanden
ist).
Wir haben
nämlich
guten
Grund
zu
der Annahme,
daß der
"feldfreie"
Minkowski-Raum einen
naturgesetzlich
mög-
lichen
Sonderfall
darstellt,
und
zwar
den
denkbar
einfachsten
Sonderfall.
Ein solcher Raum ist
bezüglich
seiner
metrischen
Eigen-
schaft dadurch
charakterisiert,
daß
dx12
+
dX22 +
dx32 das
Quadrat
des
mit
einem
Einheitsmaß
gemessenen
räumlichen
Abstandes
zweier
infinitesimal benachbarter Punkte
eines
dreidimensionalen
raum-
artigen
Querschnittes
ist
(Pythagoreischer
Satz),
während
dx4
der
mit
geeignetem
Zeitmaß
gemessene
zeitliche
Abstand
zweier
Ereig-
nisse
mit
gemeinsamen
(x1, X2,
X3)
ist. Dies
zusammen
kommt
-
wie
mit Hilfe der Lorentz-Transformationen
leicht
zu
zeigen
ist
-
darauf
hinaus, daß
der
Größe
ds
=
dx12
+
dx22
+
dx32
-
dx42
(1)
eine
objektive
metrische
Bedeutung
zukommt. Mathematisch ent-
spricht
dieser Tatsache der Umstand, daß ds2 in
bezug
auf Lorentz-
Transformationen invariant
ist.
Unterwirft
man nun
diesen Raum
im
Sinne des
allgemeinen
Rela-
tivitätsprinzips
einer
beliebigen
stetigen
Transformation
der Koor-
dinaten,
so
drückt
sich
die
objektiv
sinnvolle Größe
im
neuen
Koor-
dinatensystem
durch die
Beziehung
aus
ds2
=
gik
dxi
dxk
(1a)
wobei
über
die
Indices
x
und
k
über
alle
Kombinationen
11,
12
...
bis
44
zu
summieren
ist. Die
gik
sind
aber
nun
nicht
Konstante.
son-
dern
Funktionen der
Koordinaten, welche durch die willkürlich
ge-
wählte
Transformation
bestimmt
sind. Trotzdem
sind die
gik
nicht
willkürliche Funktionen der
neuen
Koordinaten, sondern
eben solche
Funktionen,
daß
die Form
(1a)
durch
eine
stetige
Transformation
der
vier Koordinaten wieder
in die
Form
(1)
zurücktransformiert
werden kann. Damit
dies
möglich sei,
müssen die Funktionen
gik
gewisse allgemein
kovariante
Bedingungsgleichungen erfüllen,
welche
B.
Riemann
mehr
als
ein halbes
Jahrhundert
vor Aufstellung
99
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