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DOC.
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COSMOLOGICAL
CONSIDERATIONS
Einstein:
Kosmologische Betrachtungen
zur
allgemeinen
Relativitatstheorie
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Der Skalar
p
der
(mittleren) Verteilungsdichte
kann
a priori
eine Funk-
tion der räumlichen Koordinaten sein.
Wenn wir aber
die
Welt
als
raumlich in sich
geschlossen
annehmen, so liegt
die
Hypothese
nahe,
daB
p
unabhangig
vom
Orte sei; diese
legen
wir dem
Folgenden
zu-
grunde.
Was
das Gravitationsfeld
anlangt, so
folgt aus
der
Bewegungs-
gleichung
des materiellen
Punktes
d'x,
I

i
dxm
dxt
___
df
f J
dt dt
°'
daß ein materieller
Punkt in
einem statischen Gravitationsfelde
nur
dann in Ruhe verharren
kann,
wenn
g44
vom
Orte
unabhängig
ist.
Da
wir
ferner
Unabhängigkeit
von
der
Zeitkoordinate
x4
für
alle Größen
voraussetzen,
so
können
wir
für
die
gesuchte Losung verlangen,
daß
für
alle
xv
g44
=
1
(7)
sei. Wie
stets
bei statischen Problemen
wird
ferner
g24
=
g24 =
g34
=
0
(8)
zu
setzen
sein.
Es handelt sich
nun
noch
um
die
Festlegung
derjeni-
gen Komponenten
des
Gravitationspotentials,
welche das rein räumlich-
geometrische
Verhalten
unseres
Kontinuums bestimmen
(g32,g32....g33).
Aus
unserer
Annahme
über die
Gleichmäßigkeit
der
Verteilung
der
das
Feld
erzeugenden
Massen
folgt,
daß auch die
Krümmung
des
gesuchten
Meßraumes eine konstante sein muß.
Für
diese
Massenverteilung
wird
also das
gesuchte geschlossene
Kontinuum
der
x1, x2,
x3
bei
konstan-
tem
x4
ein
sphärischer
Raum sein.
Zu
einem
solchen
gelangen
wir
z.
B.
in
folgender
Weise. Wir
gehen aus
von
einem Euklidischen Raume
der
E1, E2,
£3,
£4
von
vier
Dimensionen mit dem Linienelement
dr; es
sei also
dir*
=

-+-
+d&
+
dfr.
(9)
In diesem Raume betrachten
wir
die
Hyperfläche
B'
(10)
wobei
R
eine Konstante bedeutet. Diese
Punkte dieser
Hyperflache
bilden ein dreidimensionales
Kontinuum,
einen
sphärischen
Raum
vom
Krummungsradius
R.
Der vierdimensionale Euklidische
Raum,
von
dem wir
ausgingen,
dient
nur zur
bequemen
Definition
unserer
Hyperflache.
Uns inter-
essieren
nur
die
Punkte der
letzteren,
deren
metrische
Eigenschaften
mit
denen des
physikalischen
Raumes bei
gleichmaßiger Verteilung
der
Materie übereinstimmen sollen.
Für
die
Beschreibung
dieses dreidi-
Sitzungsberichte
1917.
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