DOC.
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PRINCETON LECTURES
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Hilfe der
obigen Regeln
der
Gleichung
mit einem Blicke ansehen
kann,
daß
sie mit
Bezug
auf räumliche
Orthogonaltransformationen
(Drehungs-
transformationen)
kovariant
ist, bzw. nach welchen
Regeln
sich die
auftretenden
Größen
transformieren
müssen,
damit dies der Fall
sei.
Die
Kovarianz der
Kontinuitätsgleichung
dq/dt+d(quv)/dxv=
0............(17)
bedarf nach
dem
Vorhergehenden
keiner besonderen
Erläuterung.
Auch
diejenigen
Gleichungen,
welche die
Druckkomponenten
in Ab-
hängigkeit
vom
Zustande
der
Materie ausdrücken,
wollen wir auf ihre
Kovarianz
prüfen
bzw. sie mit Hilfe
der
Kovarianzforderung
aufstellen
für
den
Fall
einer
kompressiblen
viskosen
Flüssigkeit.
Bei
Vernach-
lässigung
der inneren
Reibung
wird ein Druck
p
skalaren Charakters
vorhanden
sein,
der
nur von
Dichte und
Temperatur
der
Flüssigkeit
abhängig
sein wird. Der
Beitrag
zum
Drucktensor
ist
dann offenbar
gleich
psuv,
wobei
suv
der
spezielle
symmetrische
Tensor ist. Dieser Term wird
auch im
Falle
der
viskosen Flüssigkeit
vorhanden sein.
In
diesem Falle
worden aber noch Terme
von
Flächenkräften
vorhanden
sein,
die
von
den räumlichen
Ableitungen
der
uv
abhängen.
Von
dieser
Abhängigkeit
nehmen wir
an,
daß sie linear
sei.
Da der Charakter
eines
symmetrischen
Tensors
verlangt wird,
kommt
nur
die
Bildung
(duu/dxv
+
duv)
+
ai
adx
+
dxu)
+BUVäDUXa
in
Frage (
da
dua/dxa
ein Skalar
ist ).
Aus
physikalischen
Gründen
(Fehlen
jeder
Gleitung)
ist anzunehmen,
daß
bei allseitig symmetrischer
Dila-
tation, d.
h. im
Falle,
daß
du1/dx1=du2/dx2=du3/dx3,du1/dx2
usw.
=
0,
keine
Reibungskräfte
vorhanden
sind,
woraus
ß
=
-
2/5
a folgt.
Im
Falle,
daß
nur
du1/dx3
von
Null verschieden ist,
sei ferner
p31
=
-
n
du1/dx3,
wo-
durch
a
bestimmt wird.
Man
erhält für den
ganzen
Drucktensor
s=
_+
dUv)
2/dui
+
]
puv duu..-v+
WJ-ste
+
dx2
+
W,)H.
.
(18)(18)
Man
sieht
an
diesem
Beispiel
die heuristische
Bedeutung
invarianten-
theoretischer
Gesichtspunkte,
die
aus
der
Bedingung
der
Isotropie
des
Raumes
(Gleichwertigkeit
der
Richtungen)
stammen.