DOC.
71
PRINCETON LECTURES 523
-
24
-
Da
nun A(v) =
À(-v)
sein
soll,
und wir festsetzen
wollen,
daß
in allen
Systemen gleiche
Maßstäbe verwendet werden
sollen,
so
muß
die
Transformation
von
K"
auf
K
die identische Transformation
sein
(da
wir
die
Möglichkeit X
=
-
1
nicht
zu
berücksichtigen brauchen).
Die
Unabhängigkeit
des Verhaltens der Maßstabe
von
ihrer
Bewegungs-
vorgeschichte
ist bei dieser
Betrachtung
wesentlich.
Bewegte
Maßstäbe und Uhren.
Die
Lage
der
ganzzahligen
Punkte
x'1
=
n
zu
der bestimmten
K-Zeit
l
=
0
ist in
bezug
auf K
durch
die
aus
der ersten der
Gleichungen
(29) folgende Gleichung
x1
=
n Vl
-
v3 gegeben
(Lorentz
-
Verkürzung).
Eine im
Anfangs-
punkt
von
K
ruhende
Uhr,
deren
Schläge
durch l
= «
charakterisiert
sind,
geht
-
von
K'
aus
beurteilt
-
gemäß
der zweiten der Glei-
chungen (29)
in
dem
Tempo
V
1
also
langsamer,
als dieselbe
Uhr,
wenn
sie in
bezug
auf
K' ruht.
Diese
beiden
Konsequenzen,
welche
für
jedes Bezugssystem
mutatis
mutandis
gelten,
bilden den
von
Konventionen freien
physikalischen
Inhalt
der
Lorentz-Transformation.
Additionstheorem der
Geschwindigkeiten. Setzt
man
zwei
spezielle
Lorentz-Transformationen
mit
den
Relativgeschwindigkeiten
v1
und
v2
zusammen,
so
ist die
Geschwindigkeit
i12
der
sie
zusammen
ersetzenden
Lorentz-Transformation
nach
(27)
durch
die
Gleichung
*u
=
*
tg Wi
+
1t)
=
i
tg
V1
-f
tg
»t
1
-
tg tg
1
-f
vxv%
•
(30)
gegeben.
Allgemeines
über
die
Lorentz-Transformation und ihre
Invariantentheorie.
Auf
der Invariante
s2
(23)
beruht
die
ganze
Invariantentheorie
der
speziellen
Relativitätstheorie.
Sie
spielt
für
das
vierdimensionale
Raum-Zeit-Kontinuum formal die
gleiche
Rolle
wie
die
Invariante dx21+dx22+dx23
in
der
euklidischen Geometrie bzw. in
der vorrelativistischen
Physik.
Letztere
Größe ist
gegenüber
der
Ge-
samtheit der
Lorentz-Transformationen
keine
Invariante;
die Größe
s2
der
Gleichung (23)
übernimmt die Rolle dieser
Invariante.
s2
ist durch
Messung
in
bezug
auf ein
beliebiges
Inertialsystem bestimmbar, bei
gegebenem
Einheitsmaßstab eine
völlig
bestimmte
Größe,
die einem
beliebigen
Paar
von
Ereignissen zugeordnet
ist.
Die
Invariante
s2
unterscheidet
sich, abgesehen
von
der Dimensions-
zahl,
von
der
entsprechenden
Invariante
der euklidischen Geometrie
in
folgendem
Punkte.
In der euklidischen Geometrie
ist
s2
notwendig
positiv;
es
verschwindet
nur,
wenn
die betreffenden
Raumpunkte
zu-
sammenfallen.
Dagegen
kann
aus
dem Verschwinden
von
s2=EAx2v
=Ax21+Ax22+Ax23-Al2
nicht
geschlossen
werden,
daß die beiden
Kinema-
tische
Kon-
sequenzen
der
Lorentz-
Transforma-
tion.
Invarianten-
theare-
tisches
zur
speziellen
Relativitäts-
theorie.
[39]
[40]