224
DOCUMENT
169 DECEMBER
1915
169.
From Karl
Schwarzschild[1]
[at
the
Russian
front,]
22. XII.
15.
Verehrter
Herr
Einstein!
Um mit Ihrer Gravitationstheorie vertraut
zu
werden,
habe ich mich näher mit
dem
von
Ihnen in
der
Arbeit über das
Merkurperihel[2] gestellte
und
in
1.
Näherung
gelöste
Problem
beschäftigt.[3]
Zunächst machte mich ein
Umstand
sehr
konfus.
Ich fand für die erste
Näherung
der Koeffizienten
guv
außer
ihrer
Lösung
noch fol-
gende
zweite:[4]
13x~x~~
rpi
-
pa[~~]
g44
=
1
Danach hätte
es
außer
Ihrem
a
noch eine zweite
gegeben
und
das Problem wäre
physikalisch
unbestimmt. Daraufhin machte ich einmal
auf
gut
Glück
den
Versuch
einer
vollständigen
Lösung.[5]
Eine nicht
zu große
Rechnerei
ergab folgendes
Re-
sultat: Es
gibt nur
ein
Linienelement,
das Ihre
Bedingungen
1)
bis
4)[6]
nebst Feld-
und
Determinantengl.
erfüllt[7]
und im
Nullpunkt
und
nur
im
Nullpunkt
singulär
ist.
Sei:
xl
=
rcoscpcosû
x2 =
rsirupcosû
x3 =
rsinö
1
+
-- +.
R =
(r3+a3)113
=
r(
1a3
)
3
r3
dann lautet das Linienelement:[8]
ds2
=
(i
-
~)dt2
- -
R2(di32
+
sin2~dp2)
R
R,
û,
p
sind
keine
"erlaubten“ Koordinaten,
mit denen
man
die
Feldgleichungen
bilden
dürfte,
weil sie nicht die
Determinante
1
haben,
aber
das Linienelement
schreibt sich
in ihnen
am
schönsten.
Die
Gleichung
der
Bahnkurve bleibt
genau
die
von
Ihnen in erster
Näherung
er-
haltene
(11),[9]
nur
muB
man unter
x
nicht
1/r,
sondern
1/R
verstehen, was
ein
Unter-
schied
von
der
Ordnung
10-12
ist,
also
praktisch
absolut
gleichgültig.
Die
Schwierigkeit
mit den zwei
willkürlichen
Konstanten
a
und
ß,
welche die
erste
Näherung gab,
löst
sich
dahin,
daß
ß
einen bestimmten
Wert
von
der
Ordnung
a4
haben
muß,[10] so
wie
oc
gegeben
ist,
sonst
würde die
Lösung
bei
Fortsetzung
der
Näherungen divergent.
Es ist also auch die
Eindeutigkeit
Ihres Problems
in schönster
Ordnung.[11]