586
DOCUMENT
420 DECEMBER
1917
F23
=
F13
=
F24
=
F34
=
0;
F14
^4
'dxl’
und
der
ganze
schone Zusammen-
hang
fällt unter
den
Tisch,
weil
f4
mit A4
vollständig
verschmilzt.
4)
Normalformen des Linienelements.
a)
Abweichend
von
Räumen
geringerer
Di-
mensionenzahl läßt sich die
orthogonale
Form ds2
=
£gii{dxi)2
im
allgemeinen
nicht
erreichen, nur
wenn
B12,34
=
B13,24
= B14,23
=
0
ist
(:2
Gleichungen:).
Dies ist wohl
einigen
bekannt,
könnte aber
einmal
betont
werden.[8]
b)
Die
geodä-
tische
Form,
die
sich im alten
Bianchi[9] findet:
gi4 =
0
g44
=
1.
c)
"Lichtstrahlkoordinaten“.
Die
Gleichung
=
0
(8iK
=
gKi), [:im
Fall
der
speziellen
Relativitätstheorie:
j j
:
[10]
besitzt
anscheinend ein
vollständiges Integral,
das außer einer additiven und einer
multiplikativen
noch 2 wesentliche
Integrationskonstanten
enthält. Kennt
man
ein
solches
Integral, so
müssen
= C3
;
= C4
die
Gleichungen
sämmtlicher
"Lichtstrahlen“,
besser
"Gravitationsstrahlen“,
sein. Das wären die Charakteristi-
ken
der
totalen
Diffgl
ds2
=
0.
Wählt
man
xn
=
cp(x1, x2, x3, x4, ai, bi)
für vier
willkürliche
Wertsysteme
ai,
bi
als
neue
Koordinaten,
so
verschwinden sämmtliche
g'ii.
Wenn
man,
was
wahr-
scheinlich
ist,
noch die
ai, bi so
wählen
kann,
daß
V(p(aj, &,);
(p(a2, b2)) =
0
und
V(tp(a3, b3);
p(«4,
b4))
=
0
ist,
so
verschwinden
noch
g12,
g34
;
g11, g22,
g33’
g44,
g12
g34;
/g
wird
rational
=
;
die
Ausdrücke
der
Buv,or
ver-
g13
g14
einfachen sich
aber
nur
unerheblich.
Für
spezielle
Probleme
bieten aber
die Lichtstrahlkoordinaten
große
Vorteile.
d)
Beispiel.
Zur
Abwechslung
einmal
Zylindersymmetrie.
Die
Vorgänge gestatten
die
Gruppe:
x
=
jccostp
+
ysintp
y'
=
-x
sin
cp
+ y cos
9
z
=
z +
c
.
x
und
y
dürfen
nur
in den
Verbindungen
Vorkommen
x2
+
y2
;
xdx
+ ydy
;
dx2
+ dy2
; z
nur
in der Form:
dz
Hieraus mit
x2
+
y2
=
r2
;
ds2
=
f(r,
t)dt2
-
g
(dr2
+ r2dip2)
-
-
h(xdx +
ydy)2
-
Idzdt
-
mdz2
-n(xdx
+
ydy)dz
-
kár
dt
oder,
mit etwas
veränderter
Bezeichnung:
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