D O C U M E N T 7 9 M A R C H 1 9 2 1 1 1 7
durch Accente unterschieden berechnet , so ist mit auch
ein Tensor. Damit wird dann auch
= ein Skalar L, welcher den Factor annimmt, wenn die
durch ersetzt werden. An Stelle des d kann also jede Differentialform
treten, wo M eine homogene Function von I u. L von der Dimension
¼ ist, also etwa oder Das Verhältnis I:L ist dann eine nur von
den u. seinen ersten u. zweiten Difftlquotienten abhängige Function des Ortes,
der gewiss eine physikalische Bedeutung zu kommen wird. Bei Räumen von con-
stanten Krümmungsmass verschwinden beide mit H identisch, so dass beim Grenz-
übergang zu solchen eben weitere Bestimmungen hinzutreten müssen.
An Variationsproblemen des vierdimensionalen Gebietes wird zunächst wohl
nur
in Betracht kommen,
wo dann zwischen den Lagrangeschen Gleichungen 5 Differentialidentitäten beste-
hen. Vielleicht können hier Forderungen sehr allgemeiner Art an unser Weltbild
schon eine Entscheidung über u treffen.
Ihre früher bei Übergang zu speziellen Problemen benutzte Annahme, dass der
Raum im Unendlichen euklidisch oder auch nur von const. Krümmung sei, hätte
hier zur Folge, das H u. damit I und L dort verschwinden, I:L unbestimmt wird, was
mir ein ganz vernünftiges Ergebnis erscheint und etwa in dem Sinne verstanden
werden kann, dass eine auf gegründete Physik dort gegenstandslos wird.
Für n 4 giebt es zwar analoge Bildungen, jedoch sind sie entweder in den Dif-
ferentialquot[ienten] von höherem Grade oder sie enthalten noch Variablen. Es
wäre also Verallgemeinerung nach verschiedenen Richtungen möglich, ob auch
nötig, weiss ich nicht.
I u L sind tatsächlich verschieden, denn in I tritt das Glied
auf, in L aber nicht. Ausgerechnet ist L
H g
1
g
-=--H H g
1
g
--H - H a
2–
g
ag
ds M I L
I L + 4 I 4
L.
4 +
g
0 I L + g x1d d x2d x3dx4 =
H
H21212 g11g22 g12
2
2
–
1
g
-- - H
1212
H3434 H2323H1414 H3131H2424
2 H1223H3414 H1231H3424 H1224H3431 H2331H1424 + H3114H2324
H1214H3423
+ + +
+
+ +
+
H1234 2 H3124 2 H23142 + + +