D O C . 1 2 2 T H E A F F I N E F I E L D T H E O R Y 195 mulieren der Bedingung, dass ¢sich² der gemäss (1) gebildete Betrag eines kontra- varianten Vektors sich bei der Parallelverschiebung nicht ändert. ¢Es ist wohlbekannt² Levi-Civita hat gezeigt, dass der Riemannsche Krüm- mungstensor, welcher für die Theorie des Gravitationsfeldes massgebend ist, aus einer geometrischen Betrachtung gewonnen werden kann die auf das Gesetz (2) des affinen Zusammenhanges allein gegründet ist. Die Art und Weise, wie sich die durch die ausdrückt, spielt bei dieser Betrachtung keine Rolle. Analog verhält es sich mit den Differentialoperationen des absoluten Differential-Kalküls. Diese Ergebnisse führen naturgemäss zu einer Verallgemeinerung der Riemann- schen Geometrie. Statt von ¢einem metrischen Zusammenhang² der metrischen Re- lation (1) auszugehen und hieraus die Koeffizienten Γ des durch (2) charakterisier- ten affinen Zusammenhanges abzuleiten, geht man von einem allgemeinen affinen Zusammenhang vom Typus (2) aus, ohne (1) zugrunde zu legen. Das Suchen nach den mathematischen Gesetzen, welche den Gesetzen der Natur entsprechen sollen, kommt dann auf die Lösung der Frage hinaus: Welches sind die formal natürlich- sten Bedingungen, die einem affinen Zusammenhang auferlegt werden können? Den ersten Schritt in diese Richtung that H. Weyl. ¢Mit Rücksicht darauf² Seine Theorie knüpft an die Thatsache an, dass Lichtstrahlen physikalisch einfachere Ge- bilde sind als Massstäbe und Uhren, und dass durch das Gesetz der Lichtfortpflan- zung nur die Verhältnisse der bestimmt sind. Demgemäss schreibt er nicht der Grösse ds in (1) d.h. dem Betrage eines Vektors, sondern nur dem Verhältnis der Beträge zweier Vektoren (also auch den Winkeln) objektive Bedeutung zu. Solche affine Zusammenhänge werden zugelassen, bei welchen die Parallel-Verschiebung winkeltreu ist. Dadurch wurde eine Theorie erzielt, in welcher neben den bis auf einen Faktor bestimmten noch vier Grössen auftreten, welche Weyl mit den elektromagnetischen Potentialen identifizierte. Radikaler ging Eddington vor. Er ging von einem affinen Zusammenhang vom Typus (2) aus und suchte diesen zu charakterisieren, ohne irgend etwas in die Basis der Theorie aufzunehmen, was aus (1), d.h. aus der Metrik stammt. Letztere sollte sich als Konsequenz der Theorie ergeben. Der Tensor (3) Ist im Spezialfall der Riemannschen Geometrie symmetrisch. Im allgemeinen Falle zerfällt in einen symmetrischen und antisymmetrischen Teil: …(4) Die Vermutung liegt nahe, mit dem symmetrischen Tensor des metrischen be- zw. Gravitationsfeldes, mit dem antisymmetrischen Tensor des elektromagne- tischen Feldes zu identifizieren. Dies that Eddington. Seine Theorie blieb aber ein Torso, weil sich zunächst kein durch Einfachheit und Natürlichkeit bevorzugter Γμν σ gμν gμν gμν ϕν μν ∂Γμν α ∂xα ------------ Γμβ α Γμα β ∂Γμα α ∂xν ------------ - Γμν α Γα β + + = Rμν Rμν γμν ϕμν += γμν ϕμν
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