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DOC.
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FORMAL FOUNDATION OF RELATIVITY
Einstein:
Die formale
Grundlage
der
allgemeinen
Relativitatstheorie.
1043
ist.
Damit ist
bewiesen,
daß
Giklm/g=
(21a)
ein kontravarianter
antisymmetrischer
Tensor ist.
Endlich
spielt
in
der Theorie
der
allgemeinen antisymmetrischen
Tensoren
ein
aus
dem Fundamentaltensor der
gmv
gebildeter gemischter
Tensor
eine
wichtige
Rolle,
dessen
Komponenten
sind
ff» (22)
«s
+Vg
Der Tensor-Charakter
dieser beiden Ausdrücke ist nach
dem
Vorigen
und
nach
§
4
evident. Zu beweisen ist
nur,
daß sie einander
gleich
sind. Den letzten
derselben können wir
gemäß
(21)
und
(19)
auch in
der Form
bringen
^9^^9*9*,
xiifwi
woraus man
durch Summation nach
a
und ß
mit Rücksicht
auf
(10)
erhält
ZVIL?r;
letzterer
Ausdruck
unterscheidet sich
von
dem ersten
der
in
(22)
ge-
gebenen
Ausdrücke
nur
durch die
Bezeichnung
der
Summationsindizes
und durch die
(belanglose)
Reihenfolge
der
Indexpaare
Au
und ik
in
in
Samik.
Aus
(22)
ist
ersichtlich,
daß
der
gemischte
Tensor
(Glmik)
sowohl
der Indizes i,
k,
als
auch
bezüglich
der
Indizes
lm
antisymmetrisch
ist.
Mit Hilfe des
Fundamentaltensors
können wir
aus
einem
beliebigen
Tensor
in
mannigfacher
Weise Tensoren
von
anderem
Charakter her-
stellen
nach den im
§ 5
angegebenen Regeln.
So
können
wir
beispiels-
weise
aus
dem
kovarianten
Tensor
(Tuv)
den
kontravarianten
(Tuv)
her-
stellen nach
der
Regel
zv
=
2r-»srA
(23)
während
man
umgekehrt
hat:
T~ =
2

(23a)
Die Gleichwertigkeit
der
Gleichungen
(23)
und
(23a) ergibt
sich leicht
mit Hilfe
von
(10).
Man nennt
die
Tensoren
(Tuv)
und
(Tuv)
»reziprok«.
Ist
einer
von
zwei
reziproken
Tensoren
symmetrisch
bzw.
antisym-
metrisch,
so
ist
es,
wie
aus (23)
bzw.
(23a)
hervorgeht,
auch
der
andere.
Dies gilt
für Tensoren
beliebigen Ranges.
Sitzungsberichte
1914. 94
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