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DOC. 42 SPECIAL AND GENERAL RELATIVITY
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Anhang.
Einfache
Ableitung
der
Lorentz-Transformation
(Ergänzung
zu
§ 11).
Bei
der in
Fig.
2
angedeuteten
relativen
Orientierung
der
Koordinatensysteme
fallen die X-Achsen beider
Systeme
dauernd
zusammen.
Wir können hier
das Problem
teilen, in-
dem wir zunächst
nur
Ereignisse
betrachten, die
auf der
X-Achse lokalisiert
sind.
Ein
solches
Ereignis
ist
bezüglich
des
Koordinatensystems
K
durch
die Abszisse
x
und
die
Zeit
t,
bezüglich
K'
durch
die Abszisse x'
und
die
Zeit t'
gegeben.
Gesucht
sind
x' und
t',
wenn x
und t
gegeben
sind.
Ein
Lichtsignal,
welches
längs
der
positiven
X-Achse
vorschreitet, pflanzt
sich
nach der
Gleichung
x
=
ct
oder
x-ct
=
0
(1)
fort.
Da dasselbe
Lichtsignal
sich auch
relativ
zu
K'
mit
der
Geschwindigkeit
c' fortpflanzen
soll,
so
wird die
Fortpflanzung
relativ
zu
K'
durch
die
analoge
Formel
x'-ct'
=
0
(2)
beschrieben.
Diejenigen
Raum-Zeit-Punkte
(Ereignisse),
welche
(1)
erfüllen,
müssen
auch
(2)
erfüllen. Dies
wird offenbar
der
Fall
sein,
wenn
allgemein
die
Beziehung
(x'
-
ct')
=
X(x-ct)
(3)
erfüllt
ist,
wobei
X
eine Konstante
bedeutet;
denn
gemäß
(3)
bedingt
das
Verschwinden
von
x-ct
das
Verschwinden
von
x'
-
ct'.
Eine
ganz analoge Betrachtung, angewandt
auf
längs
der
negativen
X-Achse
sich
fortpflanzende Lichtstrahlen,
liefert
die
Bedingung:
x'
+
ct'
=
p(x+ct)
(4)