DOC.
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PRINCETON LECTURES
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Es
folgt daraus,
daß
sich
die
Auv bezüglich
ihrer
Transformations-
eigenschaften
und
Realitätseigenschaften
so
verhalten, wie die
Kom-
ponentenprodukte
UuVv
zweier Vierervektoren
(U)
und
(V).
Es
sind
also alle
Komponenten
reell bis auf
diejenigen,
welche
den Index
4
einmal
enthalten,
in welch letzterem Falle sie rein
imaginär sind.
Analog
lassen sich Tensoren
dritten
und höheren
Ranges
definieren.
Die
Operationen Addition,
Subtraktion,
Multiplikation, Verjüngung
und
Differentiation
von
Tensoren sind denen
des
Tensors im
dreidimen-
sionalen Raume
völlig analog.
Bevor wir die Tensorentheorie in dem
vierdimensionalen Raum-Zeit-
Kontinuum
anwenden,
wollen wir noch
besonders
die
antisymmetrischen
Tensoren ins
Auge
fassen.
Der
Tensor zweiten
Ranges
hat
im
all-
gemeinen
16
=
4.4
Komponenten.
Im Falle der
Antisymmetrie
ver-
schwinden die
Komponenten
mit zwei
gleichen
Indizes und
die
Kom-
ponenten
mit
ungleichen
Indizes sind einander
paarweise
entgegengesetzt
gleich.
Es existieren also
nur
sechs
voneinander
unabhängige
Kom-
ponenten,
wie
dies
bei dem
elektromagnetischen
Felde
der
Fall
ist. In
der
Tat
wird sich
bei Betrachtung
der
Maxwellschen
Gleichungen
zeigen,
daß diese sich
als
Tensorgleichungen
deuten
lassen,
falls
man
das
elektromagnetische
Feld als
antisymmetrischen
Tensor
auffaßt.
Ferner
ist
klar,
daß der
antisymmetrische
Tensor
dritten
Ranges
(anti-
symmetrisch
in allen
Indexpaaren)
nur
vier
voneinander
unabhängige
Komponenten besitzt,
da
es nur
vier Kombinationen
dreier
verschiedener
Indizes
gibt.
Nun wenden wir
uns zu
den
Maxwellschen
Gleichungen (19a),
(19b), (20a), (20b)
und führen die
Bezeichnungen
ein
1):
hdhdh23jh31nchcmn2826352
...(30a)
J1 J2 J3 J41ck,-1ch25fbhcl
.....
....(31)
mit der Bestimmung,
daB
quv
= -
qvu
sein
soll.
Dann
lassen
sich
jene Systeme
in
die Formen zusammenfassen
dpMV
dxv
=
Jß..............(32)
.
ö
,
d ^aft
dxa dxu dxv
.........(33)
wie
man
sich
durch
Einsetzen
gemäß
(30a)
und
(31)
leicht
überzeugt.
Die
Gleichungen
(32)
und
(33)
haben Tensorcharakter, sind also
Maxwell-
sche Glei-
chungen.
1)
Um
Verwechslungen
zu
verhüten, sollen
von
nun an
als dreidimen-
sional-räumliche Indizes
x,
y,
z
statt 1 2
3
gewählt
werden, indem wir die
Zahlenindizes
1
2 3 4
für das vierdimensionale
Raum-Zeit-Kontinuum
reservieren.
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