106 DOCUMENT 67
MARCH 1915
Ella
non
trova
esauriente
la mia osservazione
[che
vi
sono
sistemi
ammissibili
(angepasste)
di
coordinate, per
cui il tensore Fuv
non
si annulla,
mentre è
zero
quando
le guv
sono costanti], perché un generico campo gravitazionale non puo
essere
raggiunto
per
trasformazione
di
coordinate
da
un
ds2
euclideo
(guv
costan-
ti).
Questo
è
giustissimo.
Conviene
quindi
mostrare
con un
esempio
concreto
che,
operando una
qualche
trasformazione
ammissibile, a
partire
da
un
ds2
euclideo,
si
trovano
Fuv
non
tutte nulle
(contrariamente
a quanto
richiederebbe la
covarianza).
Ecco
come
vi si
perviene.
Prendiamo le
mosse
da
un
sistema di
coordinate
che
attribuisca al ds2 la forma
canonica
euclidea
ds2
=
dx2
+
dx
\
+
dx%
+
dx\
(#|ív
-
duv),
e
immaginiamo
di
eseguire una
trasformazione
infinitesima, ponendo
xV =
xu+yu, (1)
dove le
yu
designano
funzioni infinitesime
(a
priori
qualunque)
delle
x.
Dette
5|XV
+
^|IV
(2)
le guv relative alle
nuove
variabili
x'
,
si
ha
nv
dxv
dxu
(3)
Inoltre,
H
avendo la Sua
espressione
(78), e,
ben si
intende,
sempre
a meno
di ter-
mini d’ordine
superiore,
d(H
Jg)
=
i9y
MßV)
2
dxe
'
Ne
consegue (scambiando g
in
-g)
e,
HV
_
d(Hjg)
y
d
fdHjg^,
_
_1A2nnv
dg(nv)
?
h
2
’
(4)
dove si
designa
per
brevità
con
A2
l’operatore
differenziale
(di Laplace)
V
ii
Zadx2'
Ciö
premesso
in tesi
generale,
notiamo
che
la trasformazione infinitesima
(1)
sarà
ammissibile
a patto
che le
y
verifichino le
quattro equazioni
(65a)