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67. From Jakob Grommer[1]
Berlin, den 1. Juli 1919.
Lieber Herr Professor!
Der Beweis der Gültigkeit der Erhaltungssätze für eine quasi-sphärisch ge-
schlossene Welt lässt sich leicht zur Ende
führen.[2]
Nach Ihrem Vorschlag denke
man sich diese Welt auf eine Sphäre und die Sphäre durch stereographische Pro-
jektion auf eine Hyperebene abgebildet. In den kartesischen Koordinaten der Hy-
perebene ist die einzige singuläre Stelle das räumlich Unendliche der Hyper-
ebene.[3]
Es genügt zu zeigen, dass
1)
wobei die Tensor-Dichte der Materie und Gravitation bedeutet,
, , , die Koordinaten der Hyperebene.
Wenn nämlich 1) erfüllt ist, so wird erst
recht[4]
(wobei das Integral über die Oberfläche einer Kugel um den Nullpunkt erstreckt
wird) verschwinden.
Um 1) zu beweisen, denke man sich zuerst, die Umgebung der Singulären Stelle
also des Nordpol’s normal auf der Hyperebene projuziert, so dass jedem Punkt die
rechtwinklige Koordinaten des Projektionspunktes entspricht. In diesen
gestrichenen Koordinaten i[st] der Nordpol ein regulärer Punkt und alle Grössen
, sammt Ableitungen sind endlich und regulär. Wir machen die Transfor-
mation
R = Radius der Sphäre und drücken durch die gestrichene Grössen aus.
, wird den limes Null haben. Da
2)
Nun ist

ν
r=∞
lim
r2
0 =

ν
r x1
2
x2
2
x3
2
+ + = x1 x2 x3
Uσ----
1
x1
r
- Uσ----
2
x2
r
- Uσ----⎠
3
x3⎞
r
- + +

do
r=∞
lim⎝
x′
1
x′
2
x′
3
, ,
g′
ik
g′ik
xi
2R
R
R2 r′2

--------------------------------x′,
i
=
r′2
x′
1
2
x′
2
2
x′
3
2
+ + =

ν

ν

ν

ν
+ =
ν
r2

ν
gTσ
ν
g′---------------T′α∂x′ν-----------ασx∂β---------ν′x∂x∂)′)xx((′DD
= =
∂x′
∂xk
--------i
-
c
r2
----
∂xi
∂x′k
---------
c---------r2′
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