DOC. 13
GENERALIZED
THEORY OF RELATIVITY 309
8 Physik. Bedeutung
der Raum-Zeit-Koordination
Zunächst können wir
aus
der
Bedeutung,
welche
ds
im
Bewegungs-
gesetz
des
materiellen Punktes
spielt,
den
Schluß
ziehen,
daß
ds
eine
absolute Invariante
(Skalar)
sein
muß;
hieraus
ergibt
sich,
daß die
Größen
guv
einen kovarianten Tensor zweiten
Ranges
bilden1),
den
[15]
wir
als den
kovarianten Fundamentaltensor
bezeichnen.
Dieser bestimmt
das Schwerefeld. Es
ergibt
sich
ferner
aus (7)
und
(9),
daß
Impuls
und
Energie
des materiellen Punktes
zusammen
einen
kovarianten
Tensor
ersten
Ranges,
d.
h.
einen kovarianten Vektor
bilden.2)
§ 3. Bedeutung
des
Fundamentaltensors der
guv
für
die
Messung
von
Raum
und
Zeit.
Aus dem
Früheren
kann
man
schon
entnehmen,
daß
zwischen den
Raum-Zeit-Koordinaten
x1,
x2,
x3,
x4
und
den
mittelst Maßstäben und
Uhren
zu
erhaltenden
Meßergebnissen
keine
so
einfachen
Beziehungen
bestehen
können,
wie
in der alten Relativitätstheorie. Es
ergab
sich
dies
bezüglich
der Zeit schon
beim
statischen
Schwerefelde.3)
Es erhebt
sich
deshalb
die
Frage
nach der
physikalischen Bedeutung (prinzipiellen
Meßbarkeit)
der
Koordinaten
x1, x2,
x3,
x4.
Hierzu bemerken
wir,
daß
ds
als
invariantes
Maß
für
den
Abstand
zweier unendlich benachbarter
Raumzeitpunkte
aufzufassen ist.
Es muß
daher ds auch
eine
vom
gewählten Bezugssystem
unabhängige
physi-
kalische
Bedeutung
zukommen.
Wir
nehmen
an,
ds
sei
der
"natürlich
gemessene"
Abstand beider
Raumzeitpunkte
und wollen darunter
fol-
gendes
verstehen.
[17]
Die unmittelbare Nachbarschaft
des
Punktes
(x1,
x2, x3, x4)
wird
be-
züglich
des
Koordinatensystems
durch
die infinitesimalen Variabeln
dx1,
dx2,
dx3,
dx4
bestimmt.
Wir
denken
uns
statt dieser
durch eine lineare
Transformation
neue
Variable
ds1, ds2, ds3,
ds4,
eingeführt,
derart,
daß
ds2=ds21
+
ds22
+
ds23-ds24
wird. Bei
dieser Transformation sind
die
guv
als Konstanten
zu
be-
trachten;
der reelle
Kegel
ds2=0
erscheint auf
seine
Hauptachsen
be-
zogen.
In
diesem
elementaren
ds-System gilt
dann
die
gewöhnliche
Relativitätstheorie,
und
es
sei
in
diesem
System
die
physikalische
Be-
deutung von Längen
und Zeiten
dieselbe
wie
in
der
gewöhnlichen
Re-
lativitätstheorie,
d. h. ds2
ist
das
Quadrat
des vierdimensionalen Abstan-
des
beider unendlich
benachbarter
Raumzeitpunkte, gemessen
mittelst
eines im
ds-System
nicht
beschleunigten
starren
Körpers
und mittelst
relativ
zu
diesem ruhend
angeordneter
Einheitsmaßstäbe und Uhren.
[18]
1)
Vgl.
II.
Teil,
§
1.
2)
Vgl.
II.
Teil,
§
1.
3)
Vgl.
z.
B. A.
Einstein,
Ann. d.
Phys. 4. 35. S.
903ff.
[16]