DOC.
13 GENERALIZED THEORY OF RELATIVITY
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18
Kovarianz
physikalischer
Gleichungs-Systeme
bestimmen und
von
ihm beeinflußt
werden,
müssen die das Schwerefeld
bestimmenden Größen
guv
in allen
physikalischen Gleichungssystemen
auftreten.
So
haben wir
gesehen,
daß die
Bewegung
des
materiellen
Punktes durch
die
Gleichung
Ö{fds}
=
0
bestimmt
ist,
wobei
ds2
=J£gfuvdxudxr.
ds
ist
eine
Invariante
beliebigen
Substitutionen
gegenüber.
Die
ge-
suchten
Gleichungen,
welche
den
Ablauf
irgend
eines
physikalischen
Vorganges
bestimmen,
müssen
nun so gebaut sein,
daß die
Invarianz
von
ds
die
Kovarianz
des
betreffenden
Gleichungssystems
zur
Folge
hat.
Bei der
Verfolgung
dieser
allgemeinen Aufgaben
stoßen wir aber
zunächst auf eine
prinzipielle Schwierigkeit.
Wir
wissen
nicht,
bezüg-
lich welcher
Gruppe
von
Transformationen die
gesuchten
Gleichungen
kova-
riant sein
müssen. Am
natürlichsten
erscheint
es
zunächst,
zu
verlangen,
daß
die
Gleichungssysteme
beliebigen
Transformationen
gegenüber
kova-
riant
sein
sollen. Dem steht aber
entgegen,
daß die
von
uns
aufgestellten
Gleichungen
des
Gravitationsfeldes
diese
Eigenschaft
nicht
besitzen.
Wir
haben für
die
Gravitationsgleichungen
nur
beweisen
können,
daß sie
beliebigen
linearen
Transformationen
gegenüber
kovariant
sind;
wir
wissen aber
nicht,
ob
es
eine
allgemeine
Transformationsgruppe gibt,
der
gegenüber
die
Gleichungen
kovariant
sind. Die
Frage
nach der
Existenz einer
derartigen Gruppe
für
das
Gleichungssystem (18)
bzw.
(21)
ist
die
wichtigste,
welche sich
an
die
hier
gegebenen Ausführungen
an-
knüpft.
Jedenfalls sind wir bei
dem
gegenwärtigen
Stande der Theorie
nicht
berechtigt,
die
Kovarianz
physikalischer
Gleichungen beliebigen
Substitutionen
gegenüber
zu
fordern.
Anderseits aber haben wir
gesehen,
daß sich eine
Energie-Impuls-
Bilanzgleichung
für materielle
Vorgänge
hat aufstellen lassen
(§ 4,
Glei-
chung
10),
welche
beliebige
Transformationen
gestattet.
Es scheint
des-
halb
doch
natürlich,
wenn
wir
voraussetzen,
daß alle
physikalischen
Gleichungssysteme
mit Ausschluß der
Gravitationsgleichungen
so zu
for-
mulieren
sind,
daß
sie
beliebigen
Substitutionen
gegenüber
kovariant
sind.
Die
diesbezügliche Ausnahmestellung
der
Gravitationsgleichungen
ge-
genüber
allen anderen
Systemen
hängt
nach meiner
Meinung
damit
zu-
sammen,
daß
nur
erstere zweite
Ableitungen
der
Komponenten
des
Fun-
damentaltensors enthalten dürften.
Die
Aufstellung derartiger Gleichungssysteme
erfordert
die
Hilfs-
mittel der
verallgemeinerten Vektoranalysis,
wie sie
im II.
Teil
darge-
stellt
ist.
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