DOC.
13
GENERALIZED
THEORY OF
RELATIVITY
327
26
Algebraische Tensoroperationen
2.
Das
äußere Produkt
zweierkovarianter
(kontravarianter)
Tensoren
vom Range
l
bzw.
u
ist ein kovarianter
(kontravarianter)
Tensor
vom Range
X
+
u
mit den
Komponenten
(9) T(
^
k^
i2 •
•
•
ijt
'
-^kL
k2'
• •
ku
9
bzw.
(9')
^ 'ix '
ki'"ku'
3. Als
inneres Produkt zweier Tensoren
bezeichnen wir
a)
den kovarianten Tensor
(10)
k
. . .
^1•
•
. .
•
V
2
b)
den
kontravarianten
Tensor
(11)
jilt..
k1k2.
•
a~
k1
k.
• •
c)
den
gemischten
Tensor
(12)
• ,riu/*i*2*" "
*y
* *
r/t
*
•
-«,.7
k\k2..
.kx
oder
ganz allgemein,
die
drei Fälle
a)
bis
c)
mit enthaltend
d)
^ri*»-••r/uulu2-
• •
wa/Va
•
• *
*
* •*/? *
*r/u/kih•'
•
kX'
'VP
--kx^Uf-
uafsx$%-sv»
k\ k2...
kx
Die der
gewöhnlichen
Vektoranalysis
entnommenen
Bezeichnungen
"äußeres
und inneres
Produkt"
rechtfertigen
sich,
weil
jene Operationen
sich letzten Endes
als
besondere Fälle der hier betrachteten
ergeben.
Ist
in
den Fällen
a)
oder
b)
der
Rang
l
gleich Null, so
ist
das
innere Produkt ein Skalar.
4.
Reziprozität eines kovarianten und eines kontravari-
anten
Tensors.
Aus einem kovarianten Tensor
vom
Range
A
bildet
[53]
man
den
reziproken
kontravarianten Tensor
vom
Range k
durch
Ä-fache
innere
Multiplikation
mit
dem
kontravarianten Fundamentaltensor:
(13)
m,*X
^
'
~^kxk2*--kx
kxk2
• •
kx
woraus
durch
Auflösung
(14)
-^iiH'-'ix
=
^9i.
k.9ukn
*
* *
9ix
kx
' ®kx
kx
kt
- • kx
Man findet daher
aus
einem Tensor einen
Skalar,
in
dem
man
ihn mit
seinem
reziproken
Tensor
multipliziert
nach
der
Formel
(15)
.
-
'
®.1.I