490 DOC. 17 PROBLEM OF GRAVITATION
1252 Einstein,
Gravitationsproblem. Physik.
Zeitschr.
XIV,
1913.
6
;/(pdx)
=0,
(I')
wobei
(2)
mit konstantem
c
gültig
bleibt und
p
ein das Gravitationsfeld bestimmender Skalar
ist.
Für die
Fortpflanzung
dieses Lichtstrahles
[17]
wird
dt
=
o,
also
q
=
c
sein; d. h.
die
Ge-
schwindigkeit
der
Lichtausbreitung
ist
gleich
der Konstanten
c.
Die
Lichtstrahlen werden
durch das Gravitationsfeld nicht
gekrümmt.
An
Stelle der
Gleichungen
(1a) ergibt
sich
5
[
J'H
dt)
=
o,
wobei
H
= -
vi(p
^
=
-
mp
c2-q2.
d
t
(1a')
Die
Lagrangeschen
Bewegungsgleichungen
lauten
d
i
dt
| -j
X
mp
I
+
c--
q-
+
-
£
o usw.
(2)
Hieraus
ergeben
sich
für
Impuls, Energie
und
die
vom
Schwerefelde auf den
Punkt
aus-
geübte
Kraft
R
die Ausdrücke
7
r
=
m
(f
X
Vc*-
usw.
•
mp
c2
!
• c-•»
-
q-
m
^
V
c2
-
q2
usw.
ex
(2a)
m
ist
dabei eine für den
Massenpunkt
charakte-
ristische,
von
(p
und
q
unabhängige
Konstante.
Der Ausdruck für R
zeigt,
daß
p
die Rolle des
Gravitationspotentials spielt.
Ferner
zeigen
die
Ausdrücke
für Ix
und
E,
daß nach
Nordströms
Theorie die
Trägheit
eines
Massenpunktes
durch
das Produkt
mp
bestimmt
wird; je
kleiner
(p
ist,
d. h.
je größere
Massen wir
in
der Nähe des
untersuchten
Massenpunktes
anhäufen,
desto
kleiner wird der
Trägheitswiderstand,
den der
Massenpunkt
einer
Änderung
seiner
Geschwindig-
keit
entgegenstellt.
Es ist dies eine der
physi-
kalisch
wichtigsten Konsequenzen
der Skalar-
theorie der
Gravitation,
auf welche wir
später
zurückkommen
müssen.
In dieser Theorie
sowie in
der nachher dar-
zulegenden
besitzen die Koordinatendifferenzen
keine
so
einfache
physikalische
Bedeutung
wie
in der
gewöhnlichen
Relativitätstheorie. Wir
denken
uns
einen
transportabeln
Einheitsmaß-
stab und eine
transportable
Uhr
gegeben,
die
so
läuft,
daß das Licht
im
Vakuum eine Strecke
gleich
dem Einheitsmaßstab
zurücklegt1),
wenn
1)
Die Annahme, daß dies
an
allen Orten und
zu
allen
Zeiten
erreichbar
sei,
wollen wir machen;
es
handelt
sich dabei
um
einen
Spezialfall
des Postulates
(4).
-
auf der Uhr
gemessen
-
die
Zeit eins
ver-
geht.
Den vierdimensionalen Abstand
zweier
unendlich benachbarter
Raumzeitpunkte,
wie
er
sich mit diesen Meßmitteln
genau
wie
im Falle
der
gewöhnlichen
Relativitätstheorie
messen
läßt,
nennen
wir den
"natürlichen"
vierdimensionalen
Abstand dr0 der
Raumzeitpunkte.
Dieser ist
seiner Definition nach eine Invariante
und
des-
halb im Falle der
gewöhnlichen
Relativitäts-
theorie
gleich
dr.
Die
letztere Größe
bezeichnen
wir
im
Gegensatz
zum
natürlichen Abstand ihrer
Definition
gemäß
als
den
"Koordinatenabstand"
oder auch kurz
als
den
"Abstand"
der Raum-
zeitpunkte.
In
unserem
Falle ist
es
aber
mög-
lich,
daß sich der natürliche Abstand dt0
vom
Koordinatenabstand
dr
durch einen Faktor
unterscheidet,
der eine Funktion
von
(p
ist.
[18]
Wir
setzen
daher
dr0
=
wdr.
(3)
Wir können ferner
von
der natürlichen
Länge
l0,
dem natürlichen Volumen
V0
eines
Körpers
reden. Es sind dies
Länge
bzw. Volumen, wie
sie
sich durch
Messung
mittelst des
mitbewegten
Einheitsmaßstabes
ergeben.
Daneben
spielen
die
in
Koordinaten
gemessenen Längen
l
bzw.
Volumina
V
eine
Rolle.
Es läßt sich zwischen
dem Koordinatenvolumen V und dem natür-
lichen
Volumen
V0
die
Beziehung
1
ro3
cdt
cü3c
V
=
Vi
d
T
=
V0Ve«
-
q*
(4)
ableiten.
Unter
der Masseneinheit verstehen wir
ferner
die
Masse Wasser, welche
im natürlichen
Volumen
eins
enthalten
ist.
Die Masse eines
Körpers
ist das
Verhältnis seiner
Trägheit
zu
der der
Einheitsmasse,
also ein Skalar.
Unter
der natürlichen Dichte
(0
verstehen
wir
die auf
Wasser
bezogene
Dichte
oder die Masse im
natürlichen Volumen
von
der Größe
1;
p0
ist
also
gemäß
seiner Definition ein Skalar.
Wir können
aus
den
bisherigen
Resultaten
weitere
Folgerungen
ableiten,
indem
wir
von
dem materiellen Punkte
zum
Kontinuum
über-
gehen.
Wir erreichen
dies,
indem
wir den
[19]
materiellen Punkt als ein
Kontinuum
vom
Koor-
dinatenvolumen
V
und
vom
natürlichen Volumen
V0
ansehen.
Multipliziert
man
die
in (2a)
ge-
gebenen
Ausdrücke für Ix, E und
Rx
unter
Benutzung
von (4)
mit
1V,
so
erhält
man
den
Impuls ix
usw.,
die
Energie
n
und die
pondero-
motorische Kraft
tx
usw.
pro
Volumeinheit
für
eine inkohärente
Massenströmung.
Unter Be-
rücksichtigung
der Relation
Co
m
V°
erhält
man