DOC. 24 RESPONSE TO
QUESTION
BY
REISSNER
569
110
Einstein,
Antwort
an
Herrn Reißner.
Physik.
Zeitschr.
XV,
1914.
2.
Die Summe
gnov/gxv
soll
nur in einem
cxv
V
endlichen
Bereich
von x4 von
Null verschieden
sein,
für kleinere und
größere
Werte
von
x4
aber verschwinden.
Unter diesen
Voraussetzungen
hat das
Integral
y*v"
Y^g
./fdr
^
ÜXr
r
erstreckt über
alle
Werte
von
x1,
x2,
x3
und
zwischen
zwei
Werten
t1
und
t2 von
x4,
welche
das
in
(2)
angegebene
Wertintervall
einschließen,
den Wert
u u
/'
f
0-4
Y-
g
dx
1
dx2 dxz
=
Ia.
'1
't
Nach dem oben
Gesagten
ist
nun
dies
Inte-
gral,
über einen bestimmten
vierdimensionalen
Raumteil
erstreckt,
ein kovarianter
Vierervektor.
Es behält diese
Eigenschaft,
wenn man
das
In-
tegrationsgebiet um
Gebiete
erweitert,
in
denen
der
Integrand
verschwindet. Daraus
geht hervor,
daß auch das zuletzt
betrachtete
Integral
ein
Vierervektor
ist.
Das
gleiche
wird für
das drei-
dimensionale
Integral gelten,
Io=J"&,tY-gdV,
solange
man
sich für
alle in
Betracht kommen-
den
Bezugssysteme
bei der
ins
Auge gefaßten
dreidimensionalen
Integration
innerhalb eines
vierdimensionalen Bereiches
befindet,
in welchem
allenthalben
s-J
dxP
o
V
ist.
Hieraus ziehen
wir,
indem
wir
für
tyav
den
Tensor
/
V
(Xffr
+
ta»)
setzen, den Schluß,
daß die vier dreidimensionalen
Integrale
In
=
./*(^4
)
dV
,
erstreckt über
ein
abgeschlossenes (vollständiges)
System E,
einen kovarianten
Vierervektor bilden.
Es ist
klar,
daß die drei
ersten Integrale
I1,
I2, I3
die
Impulskomponenten (mit nega-
tivem
Vorzeichen),
das letzte
(I4)
die Gesamt-
energie von
E
darstellen. Daraus
geht
hervor,
daß die
Trägheitseigenschaften
eines
abge-
schlossenen
Systems (dieses
als Ganzes
betrachtet)
dieselben sind
wie
diejenigen
eines
materiellen
Punktes
von
beliebig
kleiner Masse. Wir haben
nur
noch
zu
untersuchen,
wie die
"Masse"
des
Systems
mit den
angegebenen Integralen
zu-
sammenhängt.
Bezeichnen
wir
mit
I0*
den
kovarianten
Impuls-Energievektor
eines
mate-
riellen Punktes
von
der Masse
m, so
ist1)
/,*
=
dxdi,
wobei
ds2
=
2gu
"
d
Xn
d
xv
gesetzt ist.
Wir haben
vorausgesetzt,
daß das
Schwerefeld im Unendlichen
verschwinde, d. h.
daß
die
guv
im
Unendlichen konstant
seien.
Wir
können also das
Bezugssystem
so
wählen,
daß die
guv
überall
im Unendlichen die Werte
-
1
0 0 0
0
-
1
0 0
0 0
-
1
0
0 0 0
c2
annehmen,
wobei
c
eine Konstante ist. Wir
wählen das
Bezugssystem
ferner
derart,
daß
das
System
E
als
Ganzes,
sowie
der mit ihm
äquivalente
materielle
Punkt,
relativ
zum
Be-
zugssystem
in Ruhe
sei,
d. h.
daß
I1,
I2,
I3
so-
wie
I1*, I2*, I3*
verschwinden. Dann
ergibt
sich
I4
=
f(±,4 + t")dV,
I4*=mc.
Diese beiden Größen sind
einander
gleich
zu
setzen,
wobei
I4
die
Bedeutung
der
"Ruhe-
energie"
U0
hat. Es ist also
m-Z.
Die
Trägheit
eines
abgeschlossenen
Systems
E
ist also durch seine
Ruheenergie
vollkommen
bestimmt.
Im vorstehenden
ist
gezeigt,
daß die
ener-
getischen Komponenten
des Gravitationsfeldes
zur
Schwere und
Trägheit
eines
Systems
genau
so
beitragen wie
die
energetischen
Komponenten
materieller Gebilde.
1)
Vgl.
die Broschüre "Entwurf
einer Verallgemeinerung
der Relativitätstheorie und einer
Theorie der Gravitation".
B.
G. Teubner,
1913, § 2.
(Eingegangen
11.
Dezember
1913.
[9]