574 DOC. 25
FOUNDATIONS
OF GENERAL THEORY
178
Einstein, Relativitätstheorie und Gravitationstheorie.
Physik.
Zeitschr.
XV,
1914.
Größen1) gegeben sind,
die
nur
bei
spezieller
Wahl
des
Koordinatensystems gültig sind,
so
sind
zwei
Fälle
zu
unterscheiden:
1.
Es
entsprechen
den
Gleichungen allgemein
kovariante,
d. h.
bezüglich beliebiger
Bezugs-
systeme gültige Gleichungen;
2. es
gibt
keine
allgemein
kovarianten
Glei-
chungen,
die
aus
den für
spezielle
Wahl des
Bezugssystems gegebenen Gleichungen gefolgert
werden können.
Im
Falle
2
sagen
die
Gleichungen
über die
durch die
Größen
dargestellten Dinge gar
nichts
aus;
sie
beschränken
nur
die Wahl
des
Bezugs-
systems. Sagen
die
Gleichungen
über die
durch
die
Größen
dargestellten Dinge überhaupt etwas
aus, so
liegt
stets
der Fall
1
vor,
d. h.
es
exi-
stieren dann
stets
allgemein
kovariante
Glei-
chungen
zwischen den Größen.
Wenn
wir
also,
ohne die
allgemein
kovarianten
Gleichungen
des Gravitationsfeldes
zu
kennen,
das
Bezugssystem spezialisieren
und die Feld-
gleichungen
der Gravitation
nur
für die
speziellen
Bezugssysteme aufstellen,
so
setzen
wir
die
Theorie
keinem
anderen Einwande
aus
als
demjenigen,
daß die
aufgestellten Gleichungen
vielleicht
ohne
jeden physikalischen
Inhalt sein könnten. An
eine
Berechtigung
dieses Einwandes wird aber
im
vorliegenden
Falle niemand
im
Ernst denken.
8.
"Ganz richtig",
denkt der
Leser,
"aber
die
Tatsache,
daß die Herren Einstein und
Großmann nicht imstande
sind,
die
Gleichungen
des Gravitationsfeldes
in
allgemein
kovarianter
Form
anzugeben,
ist
für mich kein hinreichender
Grund
dafür,
einer
Spezialisierung
des
Bezugs-
systems
zuzustimmen." Es
gibt
aber
zwei
ge-
wichtige Argumente,
welche diesen Schritt recht-
fertigen,
von
denen
das eine
logischen,
das
andere
empirischen Ursprungs
ist:
[11]
a)
Wenn
das Bezugssystem
ganz
will-
kürlich gewählt wird, dann können die
guv
durch die
Huv
überhaupt nicht voll-
ständig
bestimmt
sein. Man denke sich
nämlich die
Xuv
und
guv
überall
gegeben,
und
es
mögen
in
einem Teil
/
des vierdimensionalen
Raumes alle
%uv
verschwinden. Ich kann
nun
ein
neues Bezugssystem
einführen,
welches außer-
halb
4
mit dem
ursprünglichen
vollkommen
übereinstimmt,
innerhalb
P
aber
(ohne
Ver-
letzung
der
Stetigkeit) von
ihm verschieden
ist.
Bezieht
man nun
alles auf dieses
neue
Bezugssystem,
wobei
die Materie durch
%uv',
das Gravitationsfeld
durch
guv'
ausgedrückt wird,
so
ist
zwar
überall
1 '= $
1)
Die Transformationseigenschaften der
Größen selbst
müssen
natürlich
hierbei als für beliebige
Transformationen
gegeben
betrachtet werden.
dagegen
werden
im
Innern
von
l
die
Gleichungen
guv'
=
guv
sicherlich nicht
alle
erfüllt
sein1).
Hieraus
folgt
die
Behauptung.
Will
man
erzielen,
daß
eine
vollständige
Bestimmung
der
guv
(Gravitationsfeld)
aus
den
Euv (Materie) möglich sei,
so
kann
dies
nur
durch
Beschränkung in
der Wahl des
Bezugs-
systems
erreicht werden.
b)
In der
ursprünglichen
Relativitätstheorie
[12]
wird das
Erhaltungsgesetz
des
Impulses
und
der
Energie
durch eine
Gleichung
von
der Form
0 (3)
èXr
ausgedrückt.
Die
entsprechende,
durch
den
abso-
luten Differentialkalkül
gelieferte Gleichung
ist
V
'J*'"
=
1
V
1.
(4)
[13]
y u
y r
Die
Gleichung
(4)
hat nicht mehr die Gestalt
eines
reinen
Erhaltungssatzes.
Es
ist
dies
vom
physikalischen Standpunkt
insofern
verständlich,
als die
Materie,
für sich allein
betrachtet,
bei
Anwesenheit eines Gravitationsfeldes die
Erhaltungssätze
deshalb nicht erfüllen
kann,
weil
das
Gravitationsfeld
Impuls
und
Energie
auf
die
Materie
überträgt.
Dies
findet
seinen
Ausdruck in der rechten Seite der
Gleichung
(4).
Sollen aber die
Erhaltungssätze überhaupt gültig
bleiben,
so
müssen
wir
fordern,
daß
für
Materie
und Gravitationsfeld
zusammen
Erhaltungssätze
von
der
Gestalt
(3)
bestehen. Es wird
dann
ein
Gleichungssystem
von
der Form
2-it'"1-0
(5) [14]
y
gelten müssen,
wobei
tuv
nur
von
den
guv
und
ihren
Ableitungen abhängen. Allgemein
kovari-
ante Gleichungssysteme
vom
Typus
der
Glei-
chungen
(5)
gibt
es
aber
nicht. Eine nähere
Betrachtung zeigt
vielmehr,
daß solche
Systeme
nur
linearen Transformationen
gegenüber
ko-
variant sind. Indem wir
verlangen,
daß die
Feldgleichungen
der Gravitation derart
zu
for-
mulieren
seien,
daß in dieser
Formulierung
die
Gültigkeit
der
Erhaltungssätze
zum
Ausdruck
gelangt,
beschränken wir also die
Wahl
des
Bezugssystems
in der
Art,
daß
nur
mehr
lineare
Transformationen
von
einem
berechtigten Be-
zugssystem
zu
einem
anderen hinführen.
9.
Wie die
Gravitationsgleichungen
mit
Bezug
auf die
so spezialisierten Bezugssysteme
zu
finden
1)
Die
Gleichungen
sind
so
zu
verstehen,
daß
auf
den
linken
Seiten
jeweilen
den unabhängigen
Variabeln
xv'
dieselben Zahlenwerte erteilt
werden wie auf
den
rechten
Seiten
den Variabeln
xv.
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