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DOC.
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FORMAL FOUNDATION OF RELATIVITY
Einstein:
Die formale
Grundlage
der
allgemeinen
Relativitatstheorie.
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wobei
dV
tdc
(2)
[6]
gesetzt
ist. Dabei ist
x1
=
x,
x2 =
y,
x3
=
z,
x4
=
idt
gesetzt.
ds
ist
das Differential
der
»Eigenzeit«,
d. h. diese Größe
gibt
den
Betrag
an,
um
welchen die
Angabe
einer mit dem materiellen
Punkt
bewegten
Uhr
auf
dem
Wegelcment (dx,
dy,
dz)
vorschreitet. Die
Variation in
(1)
ist dabei
so zu
bilden,
daß die Koordinaten
xv
in den
Endpunkten
der
Integration
unvariiert bleiben.
Führt
man nun
eine
beliebige
Koordinatentransformation aus,
so
bleibt
Gleichung
(1)
bestehen,
während
an
Stelle
von
(2)
die
allgemeinere
Form
A,
=
2^-dir-dir'
(2a)
tritt.
Die
10
Größen
guv
sind dabei Funktionen
von
den
xv,
welche
durch
die
angewandte
Substitution bestimmt
sind.
Physikalisch
be-
stimmen
die
guv
das in
bezug
auf
das
neue Koordinatensystem
vorhandene
Gravitationsfeld,
wie
aus
den
Überlegungen
des
vorigen Paragraphen
hervorgeht.
(1)
und
(2a)
bestimmen daher die
Bewegung
eines materiellen
Punktes
in einem
Gravitationsfelde,
das bei
passender
Wahl
des
Bezugs-
systems
verschwindet.
Wir
wollen
aber
verallgemeinernd
annehmen,
daß auch sonst die
Bewegung
des materiellen
Punktes
im Gravitations-
felde stets nach diesen
Gleichungen erfolge.
Den Größen
guv
kommt noch eine zweite
Bedeutung zu.
Wir
können
nämlich
immer
setzen
=
*%g"dx.dx,
=
-^dX',,
(2b)
mm r
wobei die
dXv
allerdings
keine
vollständigen
Differentiale sind. Diese
Größen
dX,
können aber doch im
Unendlichkleinen
als
Koordinaten
verwendet werden. Es
liegt
deshalb
die
Annahme
nahe,
daß im
Unendlichkleinen die
ursprüngliche
Relativitätstheorie
gelte.
Die
dXv
sind dann die mit Einheitsmaßstäben
und
einer
passend gewählten
Einheitsuhr unmittelbar
zu
messenden Koordinaten in
einem unendlich
kleinen Gebiete. Die Größe
ds2
ist in diesem Sinne als
der
natürlich
gemessene
Abstand zweier Raum-Zeit-Punkte
zu
bezeichnen.
Dagegen
können die
dxv
nicht
in
gleicher
Weise
durch
Messung
mit
starren
Körpern
und
Uhren
direkt
gewonnen
werden. Sie
hängen
vielmehr
mit
dem natürlich
gemessenen Abstand
ds
zusammen
in einer
gemäß
(2b)
durch die Größen
guv
bestimmten Weise.
Nach dem
Gesagten
ist
ds
eine
von
der
Wahl
des Koordinaten-
systems unabhängig
definierbare
Größe,
d.
h.
ein Skalar.
ds
spielt
in
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