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DOC.
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FORMAL
FOUNDATION OF RELATIVITY
Einstein:
Die formale
Grundlage
der
allgemeinen
Relativitätstheorie.
1035
der
Av
dasselbe
ist wie
dasjenige
fur
die
Komponenten
dxv
des Linien-
elementes.
Hieraus
folgt
als
Transformationsgesetz:
.~
,
_
ox.
Atm.
(4)
a a
Wir
deuten im Anschluß
an
Ricci
und Levi-Civita den kontravarianten
Charakter dadurch
an,
daß wir den
Index
oben
anbringen.
Natürlich
sind
gemäß
dieser Definition die
dxv
selbst
Komponenten
eines kontra-
varianten
Vierervektors;
trotzdem wollen wir
hier,
der
Gewohnheit
zu-
liebe,
den Index
unten
belassen.
Aus den beiden
gegebenen
Definitionen
folgt
unmittelbar,
daß der
Ausdruck
[8]
^A,A'
=
*
(3b)
r
ein
Skalar
(Invariante)
ist.
Wir
nennen
$
das innere
Produkt
des
kovarianten Vektors
(Av)
und
des
kontravarianten
Vektors
(Av).
Daraus,
daß die
Transformationsgleichungen
(3a)
und
(4)
linear
in den
Vektorkomponenten
sind,
folgt,
daß
man aus
zwei
kovarianten
bzw. kontravarianten Vierervektoren wieder einen kovarianten bzw.
kontravarianten
Vierervektor
erhält,
indem
man
die
entsprechenden
Komponenten
addiert
(oder subtrahiert).
§
4.
Tensoren
zweiten und
hoheren
Ranges.
Kovarianter Tensor zweiten und hoheren
Ranges.
16 Funk-
tionen
Auv
der Koordinaten bezeichnet man dann als Komponenten
eines kovarianten Tensors zweiten Ranges, wenn die Summe
4Amvdx(x)'
(5)
ein
Skalar
ist;
dx(x)u
und
dx(2)v
bezeichnen dabei die Komponenten zweier
beliebig
gewahlter
Linienelemente.
Aus der
hieraus
flieBenden Relation
tA4d~tr'd4)
N.
so S
A
~Jg~'~
d4'~
folgt mit Rucksicht darauf,
daB
dieselbe
fur
beliebig gewahlte
dxu(x)'
und
dxv(z)'
gelten
soll;
die
16
Gleichungen:
__
a~.
(5a)
[9]
Diese Gleichung
ist wieder
obiger Definition aquivalent.