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FORMAL FOUNDATION OF RELATIVITY
Einstein:
Die formale
Grundlage
der
allgemeinen
Relativitätstheorie.
1037
nenten;
es
bestehen also zwischen
den
Auv
auf
Grund
von (6) alge-
braische
Beziehungen,
welche
Tensorkomponenten
im
allgemeinen
nicht
erfüllen.
Man
gelangt
jedoch
zu
einem beliebigen
Tensor,
indem
man
mehrere
Tensoren
vom
Typus
der
Gleichung
(6)
addiert1,
indem
man
setzt
Auv
=
AuBv+CuDv+...
(6a)
Analog
verhält
es
sich bei kovarianten Tensoren höheren
Ranges.
Diese
Darstellung
von
Tensoren
aus
Vierervektoren erweist sich
fur
den Be-
weis
vieler Sätze als nützlich.
Eine
analoge Bemerkung
gilt
für
ko-
variante
Tensoren höheren
Ranges.
Kontravariante
Tensoren.
Analog
wie sich kovariante Ten-
soren aus
kovarianten Vierervektoren
gemäß (6)
bzw.
(6a)
bilden
lassen,
lassen
sich auch
kontravariante Tensoren
aus
kontravarianten Vierer-
vektoren
bilden
gemäß
den
Gleichungen
A"
=
A'B-
(7)
bzw.
A"
=
AmB9+
C-D'-i
(7a)
Aus
dieser Definition folgte sogleich nach
(4)
das Transformations-
gesetz
(8)
ox ox
A~.
Analog gestaltet sich die Definition von kontravarianten Tensoren
ho-
heren Ranges. Genau wie oben
ist hier der
Spezialfall des
symme-
trischen Tensors besonders zu beachten.
Gemischte Tensoren.
Es lassen sich auch Tensoren (zweiten
und hoheren) Ranges bilden, die bezuglich gewisser Indizes
kovarian-
ten, bezuglich
anderer kontravarianten
Charakter haben; man nennt
sie
gemischte Tensoren.
Ein
gemischter Tensor zweiten Ranges
ist
z.
B.
A0B'-i- (111'.
(9)
Antisymmetrische Tensoren.
AuBer den
symmetrischen
kovarianten und
kontravarianten
Tensoren spielen die sogenannten
anti-
symmetrischen kovarianten
und kontravarianten
Tensoren eine wichtige
Rolle. Sie sind dadurch ausgezeichnet,
daB
Komponenten, die durch
Vertauschung zweier Indizes auseinander hervorgehen,
entgegenge-
setzt
gleich sind.
Wenn
z.
B.
der
kontravariante Tensor
Amv
die
Bedin-
gung Amv=-Amv
erfullt,
so
nennt
man
ihn
einen antisymmetrischen
1
Es
ist klar, daß
durch
Addition
entsprechender
Komponenten
eines
Tensors
wieder
Komponenten
eines
Tensors
entstehen, wie dies
für
den
Tensor
ersten
Ranges
(Vierervektor) gezeigt
wurde
(Addition
und
Subtraktion
von
Tensoren).