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DOC.
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FORMAL FOUNDATION
OF
RELATIVITY
Einstein: Die formale
Grundlage
der
allgemeinen
Relativitätstheorie.
1067
§
12.
Beweis
von
der
Notwendigkeit
einer
Einschränkung
[34]
der Koordinatenwahl.
Wir
betrachten
einen endlichen Teil
2
des
Kontinuums,
in wel-
chem ein materieller
Vorgang
nicht
stattfindet. Das
physikalische
Geschehen
in 2 ist dann
vollständig
bestimmt,
wenn
in
bezug
auf
ein
zur
Beschreibung
benutztes
Koordinatensystem
K
die Größen
guv
als
Funktion der
xv
gegeben
werden.
Die
Gesamtheit dieser Funktionen
werde
symbolisch
durch
G(x)
bezeichnet.
Es werde ein
neues
Koordinatensystem
K'
eingeführt,
welches
außerhalb
2 mit
K
übereinstimme,
innerhalb 2 aber
von
K
abweiche,
der-
art,
daß die
auf K'
bezogenen
guv'
wie die
guv
(nebst
ihren
Ableitungen)
überall
stetig
sind.
Die
Gesamtheit
der
guv'
bezeichnen wir
symbolisch
durch
G'(x'). G'(x')
und
G(x)
beschreiben das nämliche Gravitationsfeld.
Ersetzen
wir in den Funktionen
guv'
die Koordinaten
xv'
durch die Ko-
ordinaten
xv,
d.
h. bilden wir
G'(x), so
beschreibt
G'(x)
ebenfalls ein
Gravitationsfeld
bezüglich
K, welches aber
nicht
übereinstimmt mit dem
tatsächlichen
(bzw.
ursprünglich gegebenen)
Gravitationsfelde.
Setzen wir
nun
voraus,
daß die
Differentialgleichungen
des Gra-
vitationsfeldes
allgemein
kovariant
sind,
so
sind sie für
G'(x')
erfüllt
(bezüglich K'), wenn
sie
bezüglich
K
für
G(x)
erfüllt sind. Sie sind
dann also auch
bezüglich
K
für
G'(x)
erfüllt.
Bezüglich
K
existierten
dann die voneinander verschiedenen
Lösungen
G(x)
und
G'(x),
trotz-
dem
an
den
Gebietsgrenzen
beide
Lösungen übereinstimmten,
d. h.
durch
allgemein
kovariante Differentialgleichungen für das
Gravitationsfeld kann das Geschehen
in
demselben nicht ein-
deutig festgelegt werden.
Verlangen
wir
daher,
daß
der
Ablauf des Geschehens im Gravita-
tionsfelde durch die aufzustellenden Gesetze
vollständig
bestimmt
sei,
so
sind wir
genötigt,
die
Wahl
des
Koordinatensystems
derart
ein-
zuschränken,
daß
es
ohne
Verletzung
der
einschränkenden
Bedingungen
unmöglich
ist,
ein
neues Koordinatensystem
K'
von
der
vorhin cha-
rakterisierten Art einzuführen. Die
Fortsetzung
des
Koordinatensystems
ins Innere eines Gebietes 2 hinein
darf nicht
willkürlich sein.
§13.
Kovarianz
bezüglich linearer Transformationen.
Angepaßte Koordinatensysteme.
Nachdem
wir
gesehen
haben,
daß das
Koordinatensystem
Bedin-
gungen zu
unterwerfen
ist,
müssen
wir
einige
Arten der
Spezialisierung
der Koordinatenwahl ins
Auge
fassen. Eine
sehr
weitgehende Speziali-
sierung
erhält
man, wenn
man nur
lineare Transformationen
zuläßt.
Würden wir
von
den
Gleichungen
der
Physik
nur verlangen,
daß sie