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DOC.
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FORMAL FOUNDATION OF RELATIVITY
[36]
Einstein:
Die formale
Grundlage
der
allgemeinen
Relativitatstheorie.
1069
tionen.
Wir
wenden
uns nun zu
einer
Überlegung,
die
zu
einer viel
weniger weitgehenden
Beschränkung
der
Koordinatenwahl hinführt.
Transformationsgesetz des
Integrals I. Es sei
H
eine
Funktion
der
guv
und ihrer
ersten
Ableitungen
dguv/dxv,
die wir
zur
Ab-
kürzung
auch
gmv
nennen.
I
bezeichne das
über
einen endlichen Teil
X
des Kontinuums erstreckte
Integral
J=j
HV-ffdr
(61)
Das
zunächst benutzte
Koordinatensystem
sei
K1.
Wir
fragen
nach
der
Änderung
AJ,
welche
J
erfahrt,
wenn man vom System K1
auf
das
unendlich
wenig
verschiedene
Koordinatensystem
K2
übergeht.
Bezeichnet
man
mit
AQ
den
Zuwachs,
welchen die
beliebige,
auf
einen
Punkt
des Kontinuums sich beziehende Größe
p
bei
der
Trans-
formation
erleidet,
so
hat
man
zunächst
gemäß
(17)
und ferner
A(V-gdr)=0
(62)
A
H
__
13H 3H
(62a)
Die
Agmv
lassen sich
vermöge (8)
durch die
Axu
ausdrücken,
indem
man
die
Beziehungen
Asr=*gr'-9r
A^v
~ xm-xm
berücksichtigt.
Man
erhält
_ ass,
a
__
a
i
ass'
(63)
dg"
3
Ax.
r}-(63 a)
Die
Gleichungen
(62a),
(63),
(63a)
liefern
AH
als
lineare
homogene
Funktion der
ersten
und
zweiten
Ableitungen
der
Ax"
nach den Ko-
ordinaten.
Bisher haben wir über
die Art, wie
H
von
den
guv
und
guvr
ab-
hängen
soll,
noch keine
Festsetzung getroffen.
Wir
nehmen
nun an,
daß
H
bezüglich
linearer
Transformationen eine
Invariante
sei;
d. h.
AH
soll
verschwinden,
falls die
d2Axu/dxudxv
verschwinden. Unter
dieser
Voraussetzung
erhalten
wir
(64)
_ _
aH
9'sz~