116
DOC.
9
FORMAL FOUNDATION
OF
RELATIVITY
Einstein:
Die formale
Grundlage
der
allgemeinen
Relativitätstheorie.
1073
Es ist noch
der
Nachweis
zu
erbringen,
daß die betrachtete Variation
auch
bezüglich
K2
eine
£2-Variation
ist.
Wir
bezeichnen
symbolisch
mit
G1
bzw.
G2
die
unvariierten,
auf
K1
bzw.
K2
bezogenen
Tensoren
der
gmv,
mit
G*1
bzw.
G*2
die
variierten,
auf
K1
bzw.
K2
bezogenen
Tensoren
gmv.
Von
G1
zu
G2
bzw.
von
G*1
zu
G*2
gelangt man
durch
die
Koordinaten-
transformation
T;
die inverse Substitution sei
T-1. Ferner
gelange man
von
G1
zu
G*2
durch die Koordinatentransformation
t.
Dann
erhält
man
G*2
aus
G2
durch
die
Aufeinanderfolge
T-1
-
t-T
von
Transformationen,
also
wieder durch eine Koordinatentransformation.
Damit ist
gezeigt,
daß die
betrachtete
Variation der
gmv
auch
bezüglich
K2
eine S2-Variation ist.
Aus
(68a)
und
(68b)
folgt
endlich
die
zu
beweisende
Gleichung
(68).
Aus dem bewiesenen Satze leiten wir die Existenz eines
aus
10
Komponenten
bestehenden
Komplexes
ab,
der
bei
Beschränkung
auf
an-
gepaßte Koordinatensysteme
Tensorcharakter
besitzt. Nach
(61)
hat
man
&/
= S{fHV-gdr}
J*S{
d(HV
9)
8
oder,
da
£gmv
= -g-
(&/"),
nach
partieller
Integration
und
mit Rücksicht
darauf,
daß die
s(gmv)
an
der
Begrenzung
verschwinden.
SJ
=
drEsgmv
3
HV=g
3r
__
a
(awr7
(71)
Wir
haben
nun
bewiesen,
daß
sJ
bei
Beschränkung
auf
angepaßte
Koordinatensysteme
eine Invariante ist. Da die
sgmv
nur
in
einem
un-
endlich kleinen Gebiete
von
Null verschieden
zu
sein brauchen und
-gdr
ein
Skular
ist,
so
ist
auch
der
durch
V-g
dividierte Integrand
eine
Invariante,
d. h. die Größe
1/-g
EsgmvSmv,
wobei
(72)
K
3
3r
__
a
(73)
gesetzt
ist. Nun ist aber
ebenso
wie
gmv
ein
kontravarianter
Tensor,
und
es
sind die Verhältnisse
der
sgmv
frei
wählbar. Daraus
folgt,
daß
K
-g