DOC.
30 FOUNDATION OF GENERAL RELATIVITY
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A. Einstein.
hat dann
nach der
speziellen
Relativitätstheorie
einen
von
der
Orientierung
des lokalen
Koordinatensystems
unabhängigen,
durch
Raum-Zeitmessung
ermittelbaren
Wert. Wir
nennen
ds
die Größe des
zu
den
unendlich
benachbarten punkten
des
vierdimensionalen Raumes
gehörigen
Linienelementes.
Ist
das
zu
dem Element
(dX1
....
dX4) gehörige
ds2
positiv,
so
nennen
wir
mit
Minkowski
ersteres
zeitartig,
im
entgegen-
gesetzten
Falle
raumartig.
Zu
dem
betrachteten
"Linienelement"
bzw.
zu
den
beiden
unendlich benachbarten
Punktereignissen gehören
auch
be-
stimmte Differentiale
dx1
....
dx4
der vierdimensionalen
Ko-
ordinaten
des
gewählten
Bezugssystems.
Ist
dieses
sowie
ein
"lokales"
System
obiger
Art für
die
betrachtete
Stelle
gegeben,
so
werden
sich hier die
dXv
durch bestimmte lineare
homogene
Ausdrücke
der
dxa
darstellen
lassen:
d
V
(t
dxdxtdxa
(2)
dXv
Xr
=
V
Setzt
man
diese Ausdrücke
in
(1)
ein,
so
erhält
man
(3)
ds2
=
got dxa
dxt,
wobei die
gax
Funktionen der
xa
sein
werden,
die
nicht
mehr
von
der
Orientierung
und dem
Bewegungszustand
des
"lokalen"
Koordinatensystems
abhängen
können;
denn
ds2 ist
eine
durch
Maßstab-Uhrenmessung
ermittelbare,
zu
den betrach-
teten,
zeiträumlich unendlich
benachbarten
Punktereignissen
gehörige, unabhängig von
jeder
besonderen Koordinatenwahl
definierte Größe.
Die
gox
sind
hierbei
so
zu
wählen,
daß
gax
=
gto
ist;
die
Summation
ist
über
alle Werte
von a
und
r
zu
erstrecken,
so
daß
die Summe
aus
4x4
Summanden be-
steht,
von
denen
12
paarweise gleich
sind.
Der Fall
der
gewöhnlichen
Relativitätstheorie
geht aus
dem hier Betrachteten
hervor,
falls
es, vermöge
des beson-
deren Verhaltens der
gax
in einem endlichen
Gebiete,
möglich
ist,
in
diesem
das
Bezugssystem so zu
wählen,
daß
die
gor
die
konstanten Werte
(4)
- 1 0
0 0
0
-
1
0 0
0 0
-1
0
0 0
0
+1