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DOC.
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FOUNDATION
OF
GENERAL RELATIVITY
Die
Grundlage
der
allgemeinen
Relativitätstheorie.
807
S
16.
Allgemeine Fassung der
Feldgleichungen
der Gravitation.
Die im
vorigen
Paragraphen
aufgestellten
Feldgleichungen
für materiefreie Räume sind mit der
Feldgleichung
Arp
=
0
der
Newtonsehen
Theorie
zu vergleichen.
Wir
haben die
Gleichungen aufzusuchen,
welche der
Poissonschen
Gleichung
Ap
=
4nxg
entspricht,
wobei
q
die Dichte der Materie bedeutet.
Die
spezielle
Relativitätstheorie hat
zu
dem
Ergebnis
geführt,
daß die
träge
Masse
nichts
anderes ist
als
Energie,
welche ihren
vollständigen
mathematischen Ausdruck
in
einem
symmetrischen
Tensor zweiten
Ranges,
dem
Energietensor,
findet.
Wir
werden
daher
auch
in der
allgemeinen
Relativitäts-
theorie
einen
Energietensor
der Materie
Toa
einzufühien haben,
der wie
die
Energiekomponenten
toa
[Gleichungen
(49)
und
(50)]
des
Gravitationsfeldes
gemischten
Charakter haben
wird,
aber
zu
einem
symmetrischen
kovarianten Tensor
gehören
wird
1).
Wie
dieser
Energietensor
(entsprechend
der Dichte
g
in
der
Poissonschen
Gleichung)
in
die
Feldgleichungen
der
Gravitation einzuführen
ist,
lehrt,
das
Gleichungssystem (51).
Beträchtet
man
nämlich ein
vollständiges System
(z.
B. das
Sonnensystem),
so
wird die Gesamtmasse des
Systems,
also
auch seine
gesamte gravitierende Wirkung,
von
der Gesamt-
energie
des
Systems,
also
von
der
ponderablen
und Gravi-
tationsenergie zusammen, abhängen.
Dies
wird sich
dadurch
ausdrücken
lassen,
daß
man
in
(51) an
Stelle der
Energie-
komponenten
tua
des
Gravitationsfeldes allein
die
Summen
tuo
+
Tua
der
Energiekomponenten von
Materie und Gravi-
tationsfeld
einführt.
Man
erhält
so
statt
(51)
die Tensor-
gleichung
(52)
(./•'* /;*/») =
-*
[('/ +
T°)
-1 v
(t
+
m
F7-i,
wobei
T
=
ua
gesetzt
ist
(Lauescher
Skalar).
Dies
sind die
gesuchten allgemeinen
Feldgleichungen
der Gravitation in
ge-
[25]
1) gor
Toa =
Tor
and
goB
Toa =
TaB sollen symmetrische
Tensoren
sein.
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