DOC.
2
COVARIANCE PROPERTIES
13
Von
Albert Einstein und Marcel
Grossmann.
221
also
=
ÖXy
_
X
d{4xr)
d(4xt)
A
dx’n
^
dx'n
°vju
und
II
d(4xy)
'i
=
+
bXp
’
wobei die Jxv als unendlich kleine Größen aufzufassen
sind,
deren
Quadrate
und Produkte
zu
vernachlässigen
sind. Dann wird
J'-J
=
-4/V-S2:
Vil9n,
dytnd'(¿xm)
•
dt.
bxk
dxTdxt
mnikt
Durch
partielle
Integration
entsteht
hieraus
(3)
X-J-
mnikt
+
4/2Â
^9Yik9mJ¡f/xm)dx
mnikt
~4/‘dT-mnikt
[18]
Wir
bemerken,
daß die beiden ersten dieser
Integrale
sich ohne
weiteres als
Oberflächenintegrale
schreiben
lassen,
die wir
zur Abkürzung
mit
O1
bzw.
O2
bezeichnen.
Den
Faktor
von Axm
im
dritten
Integral
erkennen wir
gemäß
der im Anschluß
an Gleichung (V) eingeführten
Bezeichnung
als
Bm.
In
abgekürzter
Schreibweise lautet
also
die
Glei-
chung
(3)
(3a)
J'
- O1
+
O2
-•
át.
m
Wir
haben in
§
2 die Gründe
auseinandergesetzt,
die
zu
einer
Be-
vorzugung
solcher
Koordinatensysteme führen,
für
die
die Größen
Bm
=
O
sind. Solche
Koordinatensysteme
wollen wir der
Mannig-
faltigkeit
"angepaßte"
nennen.
Wie
aus
Gleichung (3a)
hervorgeht,
ist
das
angepaßte Koordinatensystem
so
gewählt, daß es
bei
festgehaltenen
Randwerten der Koordinaten und ihren
ersten
Ableitungen
(in einem
be-
liebigen
Koordinatensystem
betrachtet)
das
Integral
J
zu
einem
Extremum
macht.
Eine Transformation zwischen
angepaßten Koordinatensystemen
wollen wir eine
"berechtigte"
nennen.
Ist
die
Transformation
von
K
auf
K'
eine
berechtigte, so folgt
aus Gleichung
(3a)
J'-J=
O1
+
O2.