14
DOC.
2
COVARIANCE PROPERTIES
222
Kovarianzeigenschaften
der
Feldgleichungen
usw.
§
5.
Beweis
der
Kovarianz der
Gravitationsgleichungen.
Wir
betrachten
nun
außer der in
§
4 untersuchten
Mannigfaltig-
keit M
eine
von
dieser unendlich
wenig
abweichende zweite
Mannig-
faltigkeit
M,
für welche die Größen
guv
und deren erste
Ableitungen
an
der
Begrenzung
des betrachteten Gebietes L mit den
entsprechen-
den der
Mannigfaltigkeit
M
übereinstimmen. In
M
legen
wir
die
Ko-
ordinatensysteme
K
und
K'
in
folgender
Weise:
a)
Beide Kordinatensysteme seien der Mannigfaltigkeit
M
angepaßt.
b)
An
der
Begrenzung
des
Gebietes
L
sollen
die
Koordinaten
xv
mit
den
xv,
und die
Koordinaten
x'v
mit
den
x'v
übereinstimmen.
c)
Diese Übereinstimmung der Koordinatensysteme soll
nicht nur
an der Begrenzung
des
Gebietes selbst, sondern in Größen erster
Ord-
nung
auch unendlich nahe an der Begrenzung stattfinden;
diese Be-
dingung
bringt
es
mit
sich,
daß
die
d(Axv)/dxa
mit
den
d(4xv)/dxa
überein-
stimmen.
Die
Widerspruchslosigkeit
der
Bedingungen b)
und
c)
geht
aus
folgender Überlegung
hervor:
Da die
Mannigfaltigkeit
M auf
ein
an-
gepaßtes Koordinatensystem bezogen ist, so
ist nach
§
4 dieses Koor-
dinatensystem
K
so gewählt,
daß
das
Integral
J
bei
festgehaltenen
Randwerten der Koordinaten und
ihrer
ersten
Ableitungen
ein Extremum
ist. Dann ist
es möglich
auch in
die
variierte
Mannigfaltigkeit
M
ein
angepaßtes Koordinatensystem
K
zu legen,
welches außerhalb L
mit
dem
Koordinatensystem
K
zusammenfällt,
also
nur
innerhalb L
von
K
abweicht;
denn auch für
die
variierte
Mannigfaltigkeit
M
muß bei
un-
geänderten
Randwerten ein Extremum
des
Integrales
J
existieren,
woraus
die Erfüllbarkeit der
Gleichungen
Bm
=
0
für
die variierte
Mannig-
faltigkeit folgt.
Nehmen wir
zugleich
an,
daß
die
Koordinatensysteme
K
und
K',
auf
welche wir die
Mannigfaltigkeit
M
bezogen haben, angepaßte seien,
so
gelten gemäß (3b)
die
Gleichungen
J’ - J
=
O1
+
O2,
J' - J =
O1
+
O2,
oder
nach
Subtraktion
(J'
-
J')
-
(J
-
J) =
(O1
-
O1)
+
(O2
-
O2).
Aus
den
Festsetzungen b)
und
c),
sowie
aus
den
Beziehungen
von
M
zu
M
geht
mit
Rücksicht
auf
(3)
hervor,
daß
O1
-
O1
und
O2
-
O2
verschwinden.