16
DOC.
2
COVARIANCE PROPERTIES
224
Kovarianzeigenschaften
der
Feldgleichungen
usw.
Tuv
kovariant
sind, so
ist
ETuvdyuv ein
Skalar,
und das Gleiche
gilt
von
Y-g.dt.
Es
ist
also
(7)
JV11?

dt
=ƒz~g. dt.
( i
v
(a
y
Aus
(6)
und
(7) folgt,
daß die
Gleichung (V)
allen
berechtigten
Transformationen
des
Koordinatensystems gegenüber
kovariant
ist,
so-
fern
die Variationen
so gewählt werden,
daß
die
öyuv
und ihre
ersten
Ableitungen
an
der
Begrenzung
des
Gebietes verschwinden. Der Vari-
ationssatz,
dessen Kovarianz
auf
diese Weise bewiesen worden
ist,
ist
also etwas
weniger allgemein
als der in
§
3
zur Ableitung
der Gravi-
tationsgleichungen
benutzte. Ein Blick
auf
die
Entwicklungen
des
§
3
lehrt
aber,
daß
jene Ableitung
der
Gravitationsgleichungen
durch diese
einschränkende
Randbedingung
für
die Variation nicht
beeinträchtigt
wird.
Damit
ist
bewiesen:
Die
Gravitationsgleichungen
(II)
sind kovariant
gegenüber
allen
berechtigten
Transformationen
des
Koordinatensystems, d.
h.
gegenüber
allen
Transformationen
zwischen
Koordinatensystemen,
für welche
die Be-
dingungen
(IV) B"
=
^jdxrdxa
^
Yaß9tn
aff/u
v
erfüllt
sind.
Wir
haben in
§
2
behauptet,
daß die Ausdrücke
Bo
keinen
all-
gemeinkovarianten
Vektor bilden. Den Beweis
hiertür
führen wir des-
halb erst
an
dieser
Stelle,
weil
er
sich unter
Verwendung
der bisher
gewonnenen Ergebnisse
besonders einfach
gestaltet.
Wären die
Bo
ko-
variant,
so
wären
alle im
Vorhergehenden
als
angepaßte
bezeichneten
Koordinatensysteme
beliebige
Koordinatensysteme.
Keiner der
Schritte
des Beweises würde
zufolge
dieses Umstandes seine Beweiskraft
ver-
lieren. Das
Endergebnis
des
Beweises wäre die
völlig
allgemeine
Ko-
varianz der
Gravitationsgleichungen.
Es wäre
dann
»
-
vk
(2*.
apn
ein
allgemeiner
gemischter Tensor, folglich
afitQ
ein Skalar
bezüglich beliebiger
Transformationen. Wie aber
aus
der
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