DOC.
42
SPECIAL
AND
GENERAL
RELATIVITY 483
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59
-
§
25.
Gaußsche Koordinaten.
Diese
analytisch-geometrische Behandlungsweise
läßt
sich
nach
Gauß
folgendermaßen
erzielen. Man
denke
sich
auf
die
Tischplatte
ein
System
von beliebigen
Kurven
(vgl. Fig. 3)
auf-
gezeichnet,
die
wir
als
u-Kurven
bezeichnen
und
die wir
je
mit einer Zahl bezeichnen.
In
der
Zeichnung
sind
die
Kurven
u
=
1,
u
=
2
und
u
=
3
gezeichnet.
Zwischen
den Kurven
u
= 1
und
u
=
2
sind
aber
noch
un-
endlich
viele
eingezeichnet,
zu
denken, welche allen
reellen
Zahlen
entsprechen,
die zwischen
1
und
2
liegen.
Es
liegt
dann
ein
System
von
u-Kurven
vor,
welche
unendlich dicht
die
ganze
Tischplatte
überdecken. Keine
u-Kurve soll
eine
andere
schneiden,
sondern
durch
jeden
Punkt der
Tischplatte
eine
und
nur
eine Kurve
hindurchgehen.
Zu
jedem
Punkte
der
Oberfläche
der
Tischplatte
gehört
dann
ein
ganz
bestimmter u-Wert.
Ebenso
sei
auf
die
Fläche
ein
System
von
v
Kurven
gezeichnet,
die
denselben
Bedingungen
genügen, in entsprechender
Weise
mit Zahlen
versehen
sind,
aber ebenfalls
beliebig
gestaltet
sein
können.
Es
gehört
dann
zu
jedem
Punkte der
Tischplatte
ein
u-Wert
und
ein v-Wert, welche beiden
Zahlen
wir die
Koordinaten der
Tischplatte
nennen
(Gaußsche
Koordinaten).
Der
Punkt P
der
Figur
hat
beispielsweise
die
Gaußschen
Koordinaten
u
=
3;
v
=
1.
Zwei
benachbarten Punkten P und
P'
auf der
Fläche
entsprechen
dann
die
Koordinaten
u
=
3
v=3
v
= 1
P
:
u;
v
P':
u
+
du,
v
+
dv,
wobei
du und dv sehr kleine Zahlen bedeuten.
Der
mit
einem
Stäbchen
gemessene
Abstand
von
P und
P'
sei die
ebenfalls
sehr kleine
Zahl
ds.
Dann ist nach Gauß:
ds2
= g11
du2 +
2
g12
du
dv
+
g22dv2,