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DOC.
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SPECIAL AND
GENERAL RELATIVITY
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wobei
g11, g12, g22
Größen
sind, die
in
ganz
bestimmter Weise
von u
und
v abhängen.
Die
Größen
g11, g12
und
g22
bestimmen
das
Verhalten der Stäbchen relativ
zu
den
u-Kurven
und
v-Kurven, also
auch relativ
zur
Oberfläche
des
Tisches.
In
dem
Falle,
daß
die
Punkte
der betrachteten
Oberfläche
in
bezug
auf
die
Meßstäbchen
ein
Euklidisches
Kontinuum
bilden,
aber auch
nur
dann,
ist
es
möglich,
die u-Kurven
und
v-Kurven
so
zu
zeichnen und mit Zahlen
zu
versehen,
daß einfach
ds2
=
du2
+
dv2
wird. Dann sind
die
u-Kurven und
v-Kurven
gerade
Linien
im
Sinne
der Euklidischen
Geometrie, welche
aufeinander senkrecht
stehen. Dann sind
die
Gaußschen
Koordinaten einfach
Karte-
sische. Man
sieht, daß
die
Gaußschen
Koordinaten weiter
nichts sind
als eine
Zuordnung je
zweier Zahlen
zu
den Punkten
der
betrachteten
Fläche,
derart, daß räumlich benachbarten
Punkten
sehr
wenig
verschiedene Zahlenwerte
zugeordnet
sind.
Diese
Betrachtungen gelten
zunächst für
ein
Kontinuum
von
zwei
Dimensionen. Aber die
Gaußsche
Methode läßt
sich
auch auf
ein
Kontinuum
von
drei,
vier oder mehr Dimen-
sionen anwenden.
Liegt
z.
B. ein
Kontinuum
von
vier
Dimensionen
vor, so
ergibt
sich
folgende Darstellung.
Jedem
Punkte des Kontinuums
werden willkürlich vier
Zahlen
x1, x2,
x3,
x4
zugeordnet,
welche "Koordinaten"
genannt
werden.
Benachbarten Punkten
entsprechen
benachbarte
Koordinatenwerte.
Ist
nun
benachbarten Punkten P und P'
ein
durch
Messungen
ermittelbarer, physikalisch
wohldefinierter
Abstand ds
zugeordnet,
so
gilt
eine
Formel:
ds2
= g11
dx12
+ 2
g12
dx1,dx2
...
+
g44
dx42,
wobei die
Größen
g11
usw.
Werte
haben, die
mit
dem
Orte
im
Kontinuum
variieren. Nur
in
dem
Falle,
daß das Kontinuum
ein
Euklidisches ist, ist
es möglich,
die Koordinaten
x1...x4
den
Punkten des Kontinuums
so
zuzuordnen,
daß einfach
ds2
=
dx12
+
dx22
+
dx32
+
dx42
wird.
Dann
gelten
in
dem vierdimensionalen Kontinuum
Beziehungen,
welche
den in
unseren
dreidimensionalen
Mes-
sungen geltenden
analog
sind.