DOC. 9 ENERGY CONSERVATION 67
Einstein:
Der
Energiesatz
in
der
allgemeinen
Relativitätstheorie
451
Durch
Integration
von (3)
zwischen
x4
=
t1
und
x4
= t2
erhält
man
zunächst fur
ein
Koordinatensystem
K:
(«U
=
(J.)..
(4)
Führen wir außerdem
ein
zweites
(gestrichenes)
Koordinatensystem
K'
ein,
das
außerhalb B
mit
K
übereinstimmt,
so
haben
wir ebenso
für
die
Schnitte
x'4
=
t'1
und
x'4
= t'2
(J'r)1 =
(J'r)2.
Wir konstruieren
nun
ein
drittes
Koordinatensystem
K"
von
der
be-
trachteten
Art, welches
ohne
Verletzung
der
Stetigkeit
in
der
Um-
gebung
des
Schnittes x4
=
t1
mit
K und
in
der
Umgebung
des
Schnittes
x'4
= t'2
mit K' zusammenfällt.
Die Integration
von (3)
zwischen diesen
Schnitten liefert dann
(J2)1
= (J'e)2.
(5)
Aus den
drei
Beziehungen
folgt,
daß
Jr
von
der Koordinatenwahl
innerhalb
B
unabhängig
ist. Die Jr
ändern
sich also
lediglich
mit
der Wahl
des Galileischen
Koordinatensystems
außerhalb
B.
Wir
er-
schöpfen
also alle
Möglichkeiten, wenn
wir
so
vorgehen:
wir
setzen
zunächst
ein
Koordinatensystem
fest,
welches
außerhalb B
galileisch,
innerhalb B willkürlich
gewählt
ist,
und bedienen
uns
dann
nur
aller
derjenigen Koordinatensysteme,
welche mit diesem
durch
Lorentz-
Transformationen
verknüpft
sind.
Bezüglich
dieser
Gruppe
haben
die
Uvr
Tensorcharakter,
und
es
läßt
sich nach den Methoden
der
speziellen
Relativitätstheorie
dartun,
daß
(Jr) ein
Viervektor ist.
Wie
in
der
speziellen
Relativitätstheorie
läßt
sich also
setzen
Jr
=
E,
(6)
wobei
E0
die
Ruheenergie, dx/ds
die
Geschwindigkeit (Vierervektor)
des
Systems (als Ganzes)
bezeichnet.
E0
ist
gleich
der
Komponente
J4
bei
solcher
Koordinatenwahl,
das
J1
=
J2 =
J3
=
0
ist.
Trotz
der
freien
Koordinatenwahl innerhalb
B
ist also die
Ruhe-
energie
bzw. die Masse des
Systems
eine
scharf definierte
Größe,
die
von
der Koordinatenwahl
nicht
abhängt.
Dies ist
um
so
bemerkens-
werter,
als
wegen
des
mangelnden
Tensorcharakters
von
Uvr
den Kom-
ponenten
der
Energiedichte
keinerlei
invariante Interpretation
gegeben
werden
kann.
Denkt
man
sich
beispielsweise
das Innere
von
B ebenfalls leer,
so
hat
das
so
definierte
System
zwar
eine
verschwindende
Gesamt-
energie;
aber
man
hat
es
durch
Wahl der Koordinaten
im
Innern
von
B
in
der
Hand,
die
verschiedensten
Energieverteilungen
herbei-
[8]