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Minkowski fand nun aber weiter, dass dieses vierdimensionale Kontinuum, das
er „Welt“ nannte, mit den dreidimensionalen Kontinum der euklidischen Geome-
trie eine tiefe formale Verwandtschaft aufweise. Er erkannte ferner, dass sich auf
diese Verwandtschaft eine Methode gründen lasse zur unmittelbaren Aufstellung
von Gleichungssystemen (mathematisch formulierten Naturgesetzen), welche dem
Relativitätsprinzip genügen, d. h. Lorentz-Transformationen gegenüber kovariant
sind. Diese Zusammenhänge zu erfassen, ist für den Nicht-Mathematiker nicht
leicht. Ich will aber doch versuchen, das Wesentliche zu skizzieren.
Die Gebilde der euklidischen Geometrie sowie der theoretischen Physik haben
eine von der räumlichen Orientierung des kartesischen Koordinatensystems unab-
hängige Existenz. Habe ich also irgend eine Relation unter Verwendung der recht-
winkligen Koordinaten des Koordinatensystems K formuliert, so muss
sich dieselbe Relation bei Benutzung eines anders orientierten rechtwinkligen
Koordinatensystems (mit den Koordinaten ) genau in der entspre-
chenden Form darstellen. Beispiel: Sind die Radien zweier Kugelflächen,
bezw. die Koordinaten der Mittelpunkte derselben, so
schneiden sich beide Kugelflächen, wenn inbezug auf K die Gleichung erfüllt
ist[28]
. . . (8)
Inbezug auf das Koordinatensystem muss die Bedingung des
Schneidens genau entsprechend lauten; also
. . . (8a)
Andererseits bestehen bei gegebener relativer Lage beider Koordinatensysteme
zwischen den auf K bezogenen Koordinaten und den auf bezogenen
Koordinaten desselben Punktes P gewisse Beziehungen, derart, dass
man die durch die x (und umgekehrt die x durch die ) ausdrücken kann. Diese
Beziehungen wollen wir als „Euklidische Transformation“ bezeichnen. Drücken
wir in (8) vermöge einer euklidischen Transformation die Koordinaten
und die durch die und die aus, so müssen
wir die Schnittbedingung der beiden Kugelflächen inbezug auf , d. h. die Glei-
chung (8a) erhalten. Dies drücken wir aus, indem wir sagen: die Schnittbedingung
ist bezüglich euklidischer Transformationen kovariant.
Was nun hier inbezug auf die Schnitt-Bedingung zweier Kugelflächen gesagt ist,
muss ganz allgemein für jedes mathematisch formulierte Gesetz gelten, das auf der
Grundlage der euklidischen Geometrie formuliert ist. Alle Aussagen bezw. Geset-
ze müssen, um vom Standpunkte der euklidischen Geometrie sinnvoll zu sein, be-
züglich der euklidischen Transformationen kovariant sein. áDies ist eine
x1, x2, x3
K′ x1 ′, x2′x3′
R1, R2
x1, x2, x3
x1∗, x2∗, x3∗
R1 R2
x1∗
x1 – (
)2
x2∗
x2 – (
)2
x3∗
x3 – (
)2
+ + +
K′( x1′, x2 ′, x3 ′)
R1 R2
x1∗′
x1
′)2
– (
x2∗′
x2
′)2
– (
x3∗′
x3
′)2
– ( + + +
x1, x2, x3 K′
x1 ′, x2′, x3 ′
x′ x′ [p. 17]
x1, x2, x3
x1∗, x2∗, x3∗
x1 ′, x2 ′x3′
x1∗′x2∗′x3∗′
K′