386 DOC. 52 GEOMETRY AND EXPERIENCE
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keit
beziehen,
sind sie
nicht
sicher,
und
insofern sie sicher
sind,
beziehen
sie sich nicht
auf
die Wirklichkeit. Die volle
Klarheit über die
Sachlage
scheint mir
erst
durch
diejenige
Richtung in
der Mathematik Besitz
der Allgemeinheit
ge-
worden
zu
sein,
welche
unter
dem
Namen
"Axiomatik"
be-
kannt
ist.
Der
von
der
Axiomatik erzielte Fortschritt
be-
steht nämlich
darin, daß
durch
sie das
Logisch-Formale
vom
sachlichen
oder anschaulichen Gehalt sauber
getrennt
wurde;
nur
das
Logisch-Formale
bildet
gemäß
der Axio-
matik
den
Gegenstand
der
Mathematik,
nicht aber
der
mit
dem
Logisch-Formalen verknüpfte
anschauliche
oder
sonstige
Inhalt.
[1]
[2]
[3]
Betrachten
wir
einmal
von
diesem
Gesichtspunkte
aus
irgendein
Axiom
der
Geometrie,
etwa
das
folgende:
Durch
zwei
Punkte
des
Raumes
geht
stets
eine und
nur
eine Ge-
rade.
Wie ist
dies
Axiom
im älteren und im
neueren
Sinne
zu
interpretieren?
Ältere
Interpretation.
Jeder
weiß,
was
eine
Gerade ist
und
was
ein
Punkt
ist. Ob dies
Wissen
aus
einem
Ver-
mögen
des menschlichen
Geistes
oder
aus
der
Erfahrung,
aus
einem
Zusammenwirken beider oder sonstwoher
stammt,
braucht der Mathematiker nicht
zu
entscheiden,
sondern
überläßt
diese
Entscheidung
dem
Philosophen.
Gestützt
auf
diese
vor
aller Mathematik
gegebene
Kenntnis ist
das
genannte
Axiom
(sowie
alle anderen
Axiome)
evident,
d. h.
es
ist der Ausdruck für
einen
Teil dieser Kenntnis
a
priori.
[4]
Neuere
Interpretation.
Die
Geometrie
handelt
von
Gegenständen,
die
mit
den
Worten
Gerade,
Punkt
usw.
be-
zeichnet
werden.
Irgendeine
Kenntnis
oder
Anschauung
wird
von
diesen
Gegenständen
nicht
vorausgesetzt,
sondern
nur
die
Gültigkeit jener
ebenfalls
rein
formal,
d.
h.
losgelöst
von
jedem
Anschauungs-
und
Erlebnisinhalte
aufzufassenden